数论估计式推导核查请求：请验证我的推导工作
嘿，这个问题很有意思！我帮你把推导过程规范成Markdown格式，同时一步步核对逻辑~
我正在研读一篇论文，作者给出如下结果但几乎未作证明，烦请核查我的推导过程：
设$h:[y,\infty)\to\mathbb{R}^{>0}$是递减且具有连续导数的函数，则对所有$t\geq y$，有
$$\sum_{p\leq y}\frac{\log p}{p}h(pt)=\int_{t}^{yt}\frac{h(v)}{v}\ dv+O\big(h(y)\big)$$
（约定：$\sum_{p\leq y}$表示“对所有不大于$y$的素数$p$求和”）
我的推导思路：
我们使用两个数论中的标准结论来推进：
- 素数定理的推论：$\sum_{p\leq y}\frac{\log p}{p}=\log y + O(1)$
- 阿贝尔分部求和公式（连接离散和式与连续积分的核心工具）
正式推导步骤：
首先回忆阿贝尔求和公式：对于数列${a_n}$和区间上的可导函数$f$，有
$$\sum_{n\leq x}a_n f(n)=A(x)f(x)-\int_{1}^{x}A(u)f'(u)\ du$$
其中$A(x)=\sum_{n\leq x}a_n$是数列的部分和。
针对我们的问题：
- 定义数列$a_p=\frac{\log p}{p}$（仅素数$p$处非零，其余自然数处为0），函数$f(p)=h(pt)$
- 计算部分和$A(y)=\sum_{p\leq y}\frac{\log p}{p}=\log y + O(1)$（这就是你提到的第一个标准结论）
将其代入阿贝尔求和公式：
$$\sum_{p\leq y}\frac{\log p}{p}h(pt)=A(y)h(yt)-\int_{2}^{y}A(u)\cdot h'(ut)\cdot t\ du$$
把$A(u)=\log u + O(1)$代入上式，拆成三部分处理：
$$=(\log y + O(1))h(yt)-t\int_{2}^{y}(\log u)h'(ut)\ du - t\int_{2}^{y}O(1)h'(ut)\ du$$
第一部分化简：
$(\log y)h(yt) + O(h(yt))$，由于$h$是递减函数，且$t\geq y$，故$yt\geq y^2\geq y$，因此$h(yt)\leq h(y)$，这部分的余项为$O(h(y))$。
第二部分积分处理（含$\log u$的项）：
做变量替换$v=ut$，则$u=\frac{v}{t}$，$du=\frac{dv}{t}$，积分上下限从$u=2\to y$变为$v=2t\to yt$，代入后：
$$t\int_{2t}^{yt}\log\left(\frac{v}{t}\right)h'(v)\cdot \frac{dv}{t}=\int_{2t}^{yt}(\log v - \log t)h'(v)\ dv$$
对这个积分做分部积分：
$$=(\log v - \log t)h(v)\bigg|{2t}^{yt} - \int{2t}^{yt}\frac{1}{v}h(v)\ dv$$
$$=(\log(yt)-\log t)h(yt)-(\log(2t)-\log t)h(2t)-\int_{2t}^{yt}\frac{h(v)}{v}\ dv$$
$$=\log y \cdot h(yt)-\log 2 \cdot h(2t)-\int_{2t}^{yt}\frac{h(v)}{v}\ dv$$
第三部分余项积分处理：
由于$h$递减，$h'(u)\leq0$，故$|h'(ut)|=-h'(ut)$，做变量替换$v=ut$后：
$$t\int_{2}{y}|O(1)h'(ut)| du=O\left(\int_{2t}{yt}-h'(v)\ dv\right)=O\left(h(2t)-h(yt)\right)$$
同样因为$h$递减，$h(2t)\leq h(y)$，$h(yt)\leq h(y)$，所以这部分余项也是$O(h(y))$。
合并所有项并化简：
将各部分代回原式后，$\log y \cdot h(yt)$会抵消，再把积分$\int_{2t}{yt}\frac{h(v)}{v} dv$扩展到$\int_{t}{yt}\frac{h(v)}{v}\ dv$，差值$\int_{t}^{2t}\frac{h(v)}{v}\ dv\leq h(t)\log2\leq h(y)\log2=O(h(y))$，最终所有余项合并为$O(h(y))$，得到：
$$\sum_{p\leq y}\frac{\log p}{p}h(pt)=\int_{t}^{yt}\frac{h(v)}{v}\ dv+O\big(h(y)\big)$$
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Teddy38
