凹函数g(x)求证：g(1-F(x))是否仍为凹函数（F为CDF）

嘿，这个问题的答案是不一定——我们可以通过构造反例直接证伪，再拆解背后的逻辑：

首先明确前提：我们采用“凹函数即上凸函数”的标准定义（二阶导数非正，或满足对任意$\lambda\in[0,1]$，$g(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda g(x_1) + (1-\lambda)g(x_2)$）。

1. 选一个典型的凹函数：g(t) = -t²，它的二阶导数g''(t) = -2 < 0，完全符合凹函数定义。
2. 选一个离散分布的CDF：比如$p=0.5$的伯努利分布，其CDF为：

   $F(x) = \begin{cases}
   0, & x < 0 \
   0.5, & 0 \leq x < 1 \
   1, & x \geq 1
   \end{cases}$

3. 计算复合函数$g(1-F(x))$：
   • 当$x < 0$时，$1-F(x)=1$，故$g(1-F(x)) = -(1)^2 = -1$；
   • 当$0 \leq x < 1$时，$1-F(x)=0.5$，故$g(1-F(x)) = -(0.5)^2 = -0.25$；
   • 当$x \geq 1$时，$1-F(x)=0$，故$g(1-F(x)) = -(0)^2 = 0$。

现在验证凹函数定义：取$x_1=-1$（属于$x<0$区间），$x_2=0.5$（属于$0 \leq x <1$区间），$\lambda=0.5$：

• 左边：$\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2 = -0.5 + 0.25 = -0.25$，对应$g(1-F(-0.25)) = -1$；
• 右边：$\lambda g(1-F(x_1)) + (1-\lambda)g(1-F(x_2)) = 0.5*(-1) + 0.5*(-0.25) = -0.625$。

显然$-1 < -0.625$，不满足凹函数要求的“函数值的加权平均不小于加权平均的函数值”，因此这个复合函数不是凹函数。

凹函数的复合并不一定保持凹性：

• $1-F(x)$是非递增函数（因为CDF$F(x)$非递减）；
• 即使外层函数$g$是凹函数，和非递增的内层函数复合后，其凹凸性无法保证——从可导情况的二阶导数来看：
  $$\frac{d^2}{dx2}g(1-F(x)) = g''(1-F(x))\cdot(f(x))^2 - g'(1-F(x))\cdot f'(x)$$
  其中$f(x)$是概率密度函数（非负），$g''\leq0$（第一项非正），但第二项的符号由$g'(1-F(x))$和$f'(x)$共同决定，无法保证整体非正；对于离散CDF，甚至不存在二阶导数，直接会出现跳跃点破坏凹性的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roos Jansen