特征为0的域上Aut_KK(x)子群G的固定域与扩张次数求解

首先先理清问题里的关键细节：你提到的自同构群G是由σ: x → x+1生成的无限循环群，G中的元素其实就是σ的整数次幂——σ^n(x) = x + n，其中n ∈ ℤ。固定域E = K(x)^G，也就是所有满足**对任意n ∈ ℤ，σ^n(a(x)) = a(x)**的有理函数a(x) ∈ K(x)，等价于a(x + n) = a(x)对所有整数n成立。

1. 求解固定域E #

我们可以从有理函数的性质入手分析：

• 假设a(x)是非常数多项式：如果a(x+1) = a(x)，那么a(x+1) - a(x) = 0。但对于次数d ≥ 1的多项式，a(x+1)-a(x)是次数为d-1的非零多项式，矛盾。所以只有常数多项式满足条件。
• 假设a(x) = p(x)/q(x)是非常数有理函数（p,q互质多项式）：如果a(x+1)=a(x)，那么p(x+1)q(x) = p(x)q(x+1)。由于p和q互质，p(x)必须整除p(x+1)，q(x)必须整除q(x+1)。而p(x)和p(x+1)次数相同，因此p(x+1) = c p(x)（c ∈ K^*），同理q(x+1)=c q(x)。但如果c≠1，p(x)会是c^x乘以某个多项式，这在特征0的域K中不可能（c^x不是多项式）；若c=1，则p(x+1)=p(x)，q(x+1)=q(x)，回到多项式的情况，只能是常数。

另外，从根和极点的角度看：如果a(x)有一个根r，那么r+n（n∈ℤ）都会是根，这意味着a(x)有无限多个根，而有理函数的根只能是有限个，矛盾。极点同理。

综上，固定域E就是K本身。

2. 域扩张次数[K(x):E] #

因为K(x)是K上的超越扩张（x在K上是超越元），所以当E=K时，[K(x):E]是无限的。这也符合无限循环Galois群的性质：无限群对应的固定域扩张是无限次的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheGeometer