离散拓扑空间X={0,1}上预层F在0处的茎F₀求解问询

先帮你回忆下预层茎的核心定义：点0处的茎$F_0$，是所有形如$(U, a)$的二元组的等价类集合，其中$U$是0的开邻域，$a \in F(U)$；等价关系$\sim$定义为：$(U,a) \sim (V,b)$当且仅当存在0的开邻域$W \subseteq U \cap V$，使得预层的限制映射满足$F(W \to U)(a) = F(W \to V)(b)$。

结合X是离散拓扑的特殊性，咱们逐个拆解你的问题：

1. 如何确定存在$b \in F({0})$使得$a \sim b$？ #

X是离散空间，所以0的开邻域只有两个：${0}$和$X={0,1}$。

• 如果给定的二元组是$({0}, a)$，那直接取$b=a$，显然$( {0}, a ) \sim ( {0}, a )$，满足等价关系。
• 如果给定的二元组是$(X, a)$，那咱们取$W={0}$（它是0的开邻域，且$W \subseteq X \cap {0} = {0}$），然后令$b = F({0} \to X)(a)$——也就是把X上的截面a限制到开子集${0}$上得到的元素。根据等价关系的定义，$(X,a) \sim ({0}, b)$，因为在$W={0}$上，限制映射的结果相等：$F(W \to X)(a) = b$，而$F(W \to {0})(b)=b$（因为从${0}$到自身的限制映射是恒等映射），所以两者相等。

不管哪种情况，都能找到这样的$b \in F({0})$和原二元组等价。

2. $F_0 \subseteq F({0})$为何成立？ #

这里的“⊆”其实是可以把$F_0$的每个等价类唯一对应到$F({0})$里的一个元素，所以我们可以把$F_0$看作$F({0})$的子集（严格来说是同构，但直观上可以这么理解）。

刚才我们已经知道，$F_0$里的任何一个等价类，都能找到一个代表元是$({0}, b)$（$b \in F({0})$）。而且这个b是唯一的：假设同一个等价类有两个代表元$({0}, b_1)$和$({0}, b_2)$，根据等价关系，存在0的开邻域$W \subseteq {0} \cap {0} = {0}$，使得$F(W \to {0})(b_1) = F(W \to {0})(b_2)$。而$W={0}$，限制映射是恒等映射，所以$b_1 = b_2$。

这意味着$F_0$的每个等价类都唯一对应$F({0})$里的一个元素，所以可以认为$F_0$是$F({0})$的子集。

3. 为什么$a = b$？ #

这里的a如果是指等价类里某个代表元的截面，那分两种情况：

• 如果代表元是$({0}, a)$，那我们取的b就是a，自然相等；
• 如果代表元是$(X, a)$，那b是a在${0}$上的限制，但这里的“$a = b$”其实是指**$(X,a)$和$({0},b)$属于同一个等价类**，而不是说作为集合元素的a和b完全一样（除非预层的限制映射满足特定性质，但在等价类的意义上，它们是等价的）。不过刚才我们证明了每个等价类对应唯一的$F({0})$里的b，所以当我们用$F({0})$里的元素来标识等价类时，等价类可以直接用b来表示，这时候就可以把等价类和b等同起来，看起来就像是a（所在的等价类）等于b。

4. 如何得到$F({0}) \subseteq F_0$？ #

这个反过来就很简单了：对于任意$b \in F({0})$，我们可以构造二元组$({0}, b)$，它显然属于$F_0$的等价类集合（因为${0}$是0的开邻域，$b \in F({0})$）。而且不同的b对应不同的等价类：如果$b_1 \neq b_2$，那$({0},b_1)$和$({0},b_2)$不可能等价——因为唯一的公共开邻域是${0}$，限制映射是恒等映射，所以$F({0} \to {0})(b_1)=b_1 \neq b_2=F({0} \to {0})(b_2)$，不满足等价关系。

所以每个$F({0})$里的元素都对应$F_0$里唯一的等价类，自然可以认为$F({0})$是$F_0$的子集。

综合这两点，$F_0$和$F({0})$其实是一一对应的，也就是同构的，所以可以直接说$F_0 = F({0})$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark