证明复函数不可微：f(z)=√|xy|在z=0处满足柯西-黎曼方程但无导数

问题出自Volkovyskii、Lunts和Aramanovich所著《复分析习题集》（无官方答案）：110. 证明函数$f(z)=\sqrt{|xy|}$在点$z=0$处满足柯西-黎曼方程，但导数不存在。

这是复分析里很经典的反例——满足柯西-黎曼方程却不可导，咱们分两步来拆解证明过程：

第一步：验证$z=0$处满足柯西-黎曼方程 #

首先把$f(z)$拆成实部和虚部：

• 实部：$u(x,y) = \sqrt{|xy|}$
• 虚部：$v(x,y) = 0$（函数值都是实数，虚部自然为0）

先算虚部的偏导数，这部分很直观：

• $v_x = \frac{\partial v}{\partial x} = 0$
• $v_y = \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

再算实部在$(0,0)$处的偏导数，这里必须用偏导数的定义计算（原点处带绝对值的表达式没法直接套用求导公式）：
$$
u_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(\Delta x, 0) - u(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{|\Delta x \cdot 0|} - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0
$$
同理可得$u_y(0,0)$：
$$
u_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(0, \Delta y) - u(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\sqrt{|0 \cdot \Delta y|} - 0}{\Delta y} = 0
$$

对照柯西-黎曼方程的两个条件：

1. $u_x = v_y$ → $0 = 0$，成立
2. $u_y = -v_x$ → $0 = -0$，成立

所以在$z=0$处，柯西-黎曼方程是满足的。

第二步：证明$z=0$处导数不存在 #

导数的定义是：
$$
f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\sqrt{|\Delta x \cdot \Delta y|}}{\Delta x + i\Delta y}
$$
这里$\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，判断这个极限是否存在，最常用的方法是取不同路径趋近原点，如果极限值不同，就说明极限不存在。

• 路径1：沿实轴趋近（令$\Delta y = 0$，$\Delta x \to 0$）：
  $$
  \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{|\Delta x \cdot 0|}}{\Delta x + i\cdot 0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0
  $$

• 路径2：沿直线$y=x$趋近（令$\Delta y = \Delta x = t$，$t \to 0$）：
  此时$\Delta z = t + it = t(1+i)$，代入表达式得：
  $$
  \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{|t \cdot t|}}{t(1+i)} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|}{t(1+i)}
  $$
  当$t \to 0^+$时，$\frac{|t|}{t}=1$，极限为$\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{2}$；
  当$t \to 0^-$时，$\frac{|t|}{t}=-1$，极限为$\frac{-1}{1+i} = \frac{-1+i}{2}$。

显然，沿不同路径趋近原点时，极限值不一样（甚至同一路径的左右极限都不同），所以$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(\Delta z)-f(0)}{\Delta z}$不存在，也就是说$f(z)$在$z=0$处导数不存在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user372003