为何紧集S对应的$W^{1,p}(\Omega;S)$在$W^{1,p}(\Omega;\mathbb R^N)$中弱闭？

先快速对齐一下定义，避免理解偏差：

• $W^{1,p}(\Omega;\mathbb R^N)$：$\Omega\subset\mathbb R^n$是$\mathbb R^{n$本身或者$C}1$有界区域，$1<p<\infty$。函数$u$属于这个空间当且仅当$u\in L^p(\Omega;\mathbb R^N)$，且它的弱导数$\mathrm Du$也属于$L^p(\Omega;\mathbb R^{{nN})$，空间带通常范数$|u|_{W}{1,p}} = |u|{L^p} + |\mathrm Du|{L^p}$。
• $W^{{1,p}(\Omega;S)$：这是$W}{1,p}(\Omega;\mathbb R^N)$的子集，要求其中的函数几乎处处取值在紧集$S\subset\mathbb R^N$里，即：
  $$W^{1,p}(\Omega;S):={u\in W^{1,p}(\Omega;\mathbb R^N)\ :\ u(\cdot)\subset S\hbox{ a.e.}}$$

要证明它是弱闭的，核心要验证：如果子集内的任意序列弱收敛到全空间中的某个元素$u$，那么$u$必须也属于这个子集。我们一步步推导：

1. 明确弱收敛的连锁性质
   若${u_k}\subset W^{1,p}(\Omega;S)$弱收敛到$u\in W^{1,p}(\Omega;\mathbb R^N)$，会带来两个关键的弱收敛结果：

   • $u_k$在$L^p(\Omega;\mathbb R^N)$中弱收敛到$u$；
   • 弱导数序列$\mathrm Du_k$在$L^p(\Omega;\mathbb R^{nN})$中弱收敛到$\mathrm Du$。

2. 调用$L^p$空间的经典结论
   对于$1<p<\infty$的$L^p$空间，弱收敛的序列一定存在一个子列几乎处处收敛到极限。也就是说，我们能从${u_k}$中挑出子列${u_{k_j}}$，使得$u_{k_j}(x)\to u(x)$对几乎所有$x\in\Omega$成立。

3. 结合紧集$S$的闭性
   每个$u_{k_j}(x)$都几乎处处落在$S$里，而$S$是$\mathbb R^N$中的紧集——欧氏空间里的紧集等价于闭且有界，闭集的核心性质是：所有收敛序列的极限都包含在集合内。
   那对于几乎处处收敛的子列${u_{k_j}(x)}$，它的极限$u(x)$自然也必须属于$S$，对几乎所有$x\in\Omega$成立。

4. 排除反例验证结论
   假设存在一个正测度的集合$E\subset\Omega$，使得$u(x)\notin S$对所有$x\in E$成立。但$S$是闭集，$u(x)$在$S$的补集（开集）里，那么$u_{k_j}(x)$（都在$S$里）不可能在$E$上收敛到$u(x)$，这和子列几乎处处收敛的结论矛盾。因此这样的$E$不存在，即$u(x)\in S$几乎处处成立。

总结来说：核心逻辑是利用$L^{p$弱收敛的子列几乎处处收敛性质，结合紧集的闭性，保证极限函数几乎处处落在$S$中，从而证明$W}{1,p}(\Omega;S)$是弱闭的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominic Wynter