定态解的动量算符期望值证明疑问：如何证⟨ψ|P|ψ⟩=0？

别担心，我来一步步带你拆解这个推导过程，把困惑的地方理清楚：

首先回忆动量算符期望值的定义，对于给定的定态波函数$\psi(x,t) = \psi(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}$，期望值的表达式是：
$$
\langle \vec{P} \rangle_{\psi} = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t)^* \vec{P} \psi(x,t) dx
$$

步骤1：分离时间与空间部分 #

把定态波函数代入表达式，先处理时间相关的因子：
$$
\psi(x,t)^* = \psi(x)^* e^{\frac{i}{\hbar} E t}, \quad \vec{P} \psi(x,t) = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \left( \psi(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \right) = e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \cdot \frac{\hbar}{i}\frac{d\psi(x)}{dx}
$$
两者相乘后，时间因子$e^{\frac{i}{\hbar} E t} \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} E t} = 1$，期望值直接简化为只和空间波函数有关的积分：
$$
\langle \vec{P} \rangle_{\psi} = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x)^* \cdot \frac{\hbar}{i}\frac{d\psi(x)}{dx} dx
$$

步骤2：用分部积分处理导数项 #

对这个积分做分部积分，设$u = \psi(x)^$，$dv = \frac{d\psi(x)}{dx} dx$，则$du = \frac{d\psi(x)^}{dx} dx$，$v = \psi(x)$。根据分部积分公式$\int u dv = uv|{-\infty}^{+\infty} - \int v du$：
$$
\int{-\infty}^{+\infty} \psi(x)^* \frac{d\psi(x)}{dx} dx = \left. \psi(x)^* \psi(x) \right|{-\infty}^{+\infty} - \int{-\infty}^{+\infty} \psi(x) \frac{d\psi(x)^*}{dx} dx
$$

对于束缚定态（这是我们讨论的常见可归一化定态），波函数在无穷远处会趋近于0，所以边界项$\left. |\psi(x)|^2 \right|{-\infty}^{+\infty} = 0 - 0 = 0$。剩下的部分简化为：
$$
\int{-\infty}^{+\infty} \psi(x)^* \frac{d\psi(x)}{dx} dx = - \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) \frac{d\psi(x)^*}{dx} dx
$$

步骤3：结合厄米算符性质推导结论 #

动量算符是厄米算符，所以它的期望值一定是实数，即$\langle \vec{P} \rangle = \langle \vec{P} \rangle^*$。

现在看我们得到的积分关系，设$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x)^* \frac{d\psi(x)}{dx} dx$，则$I = -I^$。代入动量期望值的表达式：
$$
\langle \vec{P} \rangle = \frac{\hbar}{i} I
$$
对其取复共轭：
$$
\langle \vec{P} \rangle^ = \frac{\hbar}{-i} I^* = \frac{\hbar}{i} (-I^)
$$
结合$I = -I^$，可得$\langle \vec{P} \rangle^* = \frac{\hbar}{i} I = \langle \vec{P} \rangle$，同时又有$\langle \vec{P} \rangle = \frac{\hbar}{i} I = \frac{\hbar}{i} (-I^) = - \langle \vec{P} \rangle^$。

一个实数同时等于它的相反数，唯一的可能就是这个数为0，因此$\langle \vec{P} \rangle_{\psi} = 0$。

补充：定态条件的作用 #

我们用到的定态波函数分离形式$\psi(x,t) = \psi(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}$，正是由$H |\psi\rangle = E |\psi\rangle$这个定态薛定谔方程推导而来的。如果不是定态，波函数无法分离时间与空间变量，时间因子不会抵消，也就得不到这个结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Illari