函数的临界点是否必须为内点？边界点能否成为函数的临界点？

嘿，咱们先把几个核心概念掰扯清楚，避免混淆：

• 内点：对于函数定义域D里的点x₀，如果能找到一个以x₀为中心的小邻域，这个邻域里的所有点都在D内，那x₀就是内点。
• 临界点：一般来说，指的是函数在该点要么导数为0，要么导数不存在（但函数在该点连续）的点——不同教材可能有细微差异，但核心就是这两类情况。

接下来直接回答你的两个问题：

1. 所有临界点必须是内点吗？ #

当然不是。临界点完全可以出现在边界点上，这正好对应你第二个问题的答案。

2. 边界点能成为临界点吗？ #

必须能！给你举两个直观的例子：

例子1：导数不存在的边界点 #

看函数 f(x) = √x，定义域是 [0, +∞)。

• x=0是定义域的边界点（你找不到一个以0为中心的小邻域，让所有点都在定义域里，因为左边的负数不在定义域）。
• 在x=0处，函数的右导数是无穷大，也就是导数不存在，符合临界点的定义，所以x=0就是这个函数的临界点。

例子2：单侧导数为0的边界点 #

再看函数 f(x) = (x-1)²，定义域限定为 [0,1]。

• x=1是定义域的边界点。
• 在x=1处，我们看左导数：lim(h→0⁻) [f(1+h)-f(1)]/h = lim(h→0⁻) h²/h = 0。如果你的教材把单侧导数为0的边界点也算作临界点（很多分析或优化相关的教材会这么做，因为边界点的极值也需要纳入考虑），那x=1就是这个函数的临界点。

不过要提一句：不同教材对临界点的定义可能有小差异。有些教材会严格要求临界点是内点，这时候边界点就不算；但绝大多数主流教材里，临界点包含所有导数为0或导数不存在的点，不管是内点还是边界点——毕竟在找函数极值的时候，边界点的临界点也是我们要重点检查的对象。

总结一下：

• 临界点不一定非得是内点，边界点完全可以成为临界点。
• 具体算不算，要看你用的教材定义，但从广义的数学分析角度，只要边界点满足导数为0或导数不存在的条件，就属于临界点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user185991