类托马西函数在x=1处的连续性证明困惑

先明确托马西函数（也常被称为爆米花函数）的定义：
$$f(x)=\left{\begin{array}{cl} \frac{1}{a}, & x\in(0,1)\cap\mathbb{Q},_{x=\frac{a}{b}}\text{为既约分数}, \ 0, & x\in\left{0,1\right}\cup((0,1)\cap\mathbb{Q}^c). \end{array} \right.$$

你已经摸到正确的思路啦！你写到一半的那个集合，其实就是所有满足$a\leq\frac{1}{\varepsilon}$的自然数$a$，这正是证明的关键节点，我们顺着你的方向把证明补全：

要证明$f$在$x=1$处连续，根据连续性的定义，就是要对任意给定的$\varepsilon>0$，找到一个$\delta>0$，使得当$|x-1|<\delta$时，$|f(x)-f(1)|<\varepsilon$。注意到$f(1)=0$，所以问题简化为：当$x$落在$(1-\delta,1]$时，$|f(x)|<\varepsilon$恒成立。

你的第一步是对的：任取$\varepsilon>0$，存在自然数$N$使得$\frac{1}{N}<\varepsilon$（比如取$N=\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1$就满足）。接下来我们分析哪些$x$会让$f(x)\geq\varepsilon$：

• 对于无理数$x$，$f(x)=0<\varepsilon$，天然满足条件；
• 对于$(0,1)$内的有理数$x=\frac{a}{b}$（既约分数），$f(x)=\frac{1}{a}\geq\varepsilon$等价于$a\leq N$（因为$\frac{1}{a}\geq\varepsilon\implies a\leq\frac{1}{\varepsilon}\leq N$）。

现在核心结论来了：满足$a\leq N$的既约分数$\frac{a}{b}\in(0,1)$（也就是$a<b$），且$\frac{a}{b}$接近1的那些数，是有限个的。因为对于每个固定的$a$（从1到$N$），$b$必须满足$b>a$且$\frac{a}{b}<1$，而$\frac{a}{b}$离1的距离是$1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}$。我们可以找出这些分数中离1最近的那个，设它与1的距离为$\delta_0$，即：
$$\delta_0=\min\left{1-\frac{a}{b}\mid 1\leq a\leq N, b>a, \frac{a}{b}\text{既约}\right}$$

然后取$\delta=\delta_0$，那么当$x\in(1-\delta,1]$时：

• 如果$x$是无理数或$x=1$，$f(x)=0<\varepsilon$；
• 如果$x$是有理数$\frac{a}{b}$（既约），那么$\frac{a}{b}>1-\delta\geq1-\delta_0$，这说明$\frac{a}{b}$不在我们刚才列出的有限个满足$a\leq N$的分数里，因此$a>N$，从而$\frac{1}{a}<\frac{1}{N}<\varepsilon$，也就是$f(x)<\varepsilon$。

这样就完全满足了连续性的定义，所以$f$在$x=1$处连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AnonyMath