关于ℝ上闭子集生成σ-代数与Borel σ-代数的关系及生成性证明问询

先回答你开头的小问题：为什么所有闭子集生成的σ-代数是ℝ上Borel σ-代数的子集？
因为Borel σ-代数$\mathcal{B}(\mathbb{R})$的定义是由所有开子集生成的σ代数，而每个闭子集都是某个开子集的补集（闭集的补是开集）——σ代数对补运算封闭，所以所有闭子集都属于$\mathcal{B}(\mathbb{R})$。那由闭子集生成的σ代数，作为包含所有闭子集的最小σ代数，自然是$\mathcal{B}(\mathbb{R})$的子集啦。你已经反过来证明了闭子集生成的σ代数也包含所有开集（开集是闭集的补），所以两者相等，这部分你已经搞定，咱们重点看剩下的两个情况：

b) 证明$\mathcal{B}(\mathbb{R})$由${(-\infty, b]: b \in \mathbb{R}}$生成 #

设这个集合族生成的σ代数为$\mathcal{B}_2$，咱们分两步证$\mathcal{B}_2 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$：

1. $\mathcal{B}_2 \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})$：
   每个$(-\infty, b]$都是闭集（它的补集$(b, +\infty)$是开集），而闭集都属于$\mathcal{B}(\mathbb{R})$，所以这个集合族里的所有元素都在$\mathcal{B}(\mathbb{R})$中。σ代数对生成运算封闭，因此$\mathcal{B}_2$作为最小包含该集合族的σ代数，必然是$\mathcal{B}(\mathbb{R})$的子集。
2. $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{B}_2$：
   要证这个，只需要证明所有开集都能由${(-\infty, b]}$中的元素通过σ代数的运算表示出来。
   ℝ上的任意开集都可以写成可数个开区间的并，比如$(a, b)$。咱们可以把$(a, b)$拆解为：
   $$(a, b) = (-\infty, b) \cap (a, +\infty)$$
   其中，$(-\infty, b)$可以表示为$\bigcup_{n=1}^\infty (-\infty, b - 1/n]$，每个$(-\infty, b - 1/n]$都属于$\mathcal{B}_2$，可数并运算封闭，所以$(-\infty, b) \in \mathcal{B}_2$；而$(a, +\infty)$是$(-\infty, a]$的补集，σ代数对补运算封闭，所以$(a, +\infty) \in \mathcal{B}_2$。两者的交集$(a, b)$自然也在$\mathcal{B}_2$里。
   既然所有开区间都在$\mathcal{B}_2$里，可数并也在$\mathcal{B}_2$里，那所有开集都属于$\mathcal{B}_2$，而$\mathcal{B}(\mathbb{R})$是由开集生成的最小σ代数，所以$\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{B}_2$。
   结合两步，$\mathcal{B}_2 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$。

c) 证明$\mathcal{B}(\mathbb{R})$由${(a, b]: a, b \in \mathbb{R}}$生成 #

设这个集合族生成的σ代数为$\mathcal{B}_3$，同样分两步：

1. $\mathcal{B}_3 \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})$：
   每个$(a, b]$都可以看作开集$(a, b)$和单点集${b}$的并集。开集$(a, b)$属于$\mathcal{B}(\mathbb{R})$，单点集${b}$是闭集（它的补是$\mathbb{R} \setminus {b}$，是开集），也属于$\mathcal{B}(\mathbb{R})$。σ代数对并运算封闭，所以$(a, b] \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$，因此$\mathcal{B}_3$作为最小包含该集合族的σ代数，是$\mathcal{B}(\mathbb{R})$的子集。
2. $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{B}_3$：
   咱们先证明${(-\infty, b]}$这个集合族包含于$\mathcal{B}3$——因为$(-\infty, b] = \bigcup{n=1}^\infty (-n, b]$，每个$(-n, b]$都属于$\mathcal{B}_3$，可数并在σ代数里，所以$(-\infty, b] \in \mathcal{B}_3$。
   而根据b)的结论，$\mathcal{B}(\mathbb{R})$是由${(-\infty, b]}$生成的σ代数，这个σ代数必然包含于$\mathcal{B}_3$（因为$\mathcal{B}_3$包含了生成$\mathcal{B}(\mathbb{R})$的所有元素，且是σ代数），所以$\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{B}_3$。
   结合两步，$\mathcal{B}_3 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$。

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