狭义相对论：相对论质量随速度变化的推导过程问询

嘿，这是推导相对论质量-速度关系的经典路子，用双粒子碰撞+参考系变换+动量守恒就能搞定，我给你一步步拆解：

先搭好参考系和碰撞场景 #

• 我们需要两个惯性参考系：
  • S₁：作为静止参考系，我们就在这个系里观测整个过程
  • S₂：相对于S₁以速度v沿x轴正方向匀速运动的参考系
• 在S₂系里，我们设定一个对称碰撞：两个质量完全相同（都是m）的粒子，以大小相等的速率u'，分别沿x轴正、反方向运动，碰撞后粘成一个整体，并且这个复合粒子在S₂系里是静止的——这样S₂里的动量守恒一眼就能看明白，碰撞前后总动量都是0。

把S₂里的粒子速度转换成S₁系的 #

用狭义相对论的速度变换公式，把两个粒子在S₂中的速度转换到S₁里：

• 沿x轴正向运动的粒子，在S₁中的速度u₁：
  u₁ = (v + u') / (1 + (v u')/c²)
• 沿x轴负向运动的粒子，在S₁中的速度u₂：
  u₂ = (v - u') / (1 - (v u')/c²)

用动量守恒推导出质量公式 #

1. 先看S₂系：碰撞前总动量是 m·u' + m·(-u') = 0，碰撞后复合粒子静止，动量也是0，完美符合动量守恒。
2. 再看S₁系：碰撞前两个粒子的动量分别是m₁·u₁和m₂·u₂（这里m₁是速度为u₁的粒子质量，m₂是速度为u₂的粒子质量，因为相对论里质量随速度变化，所以不能直接用S₂里的m）；碰撞后复合粒子的质量设为M，它在S₁里的速度就是v（因为S₂里它静止，S₂相对于S₁以v运动），所以碰撞后总动量是M·v。
3. 根据动量守恒，S₁系里碰撞前后总动量相等：
   m₁ u₁ + m₂ u₂ = M v
4. 现在我们可以做一个简化设定：让其中一个粒子在S₁系里静止，也就是令u₂=0，这时候可以解出v和u'的关系，再代入上面的守恒式，最终就能推导出运动质量m和静止质量m₀的核心关系：
   m = m₀ / √(1 - v²/c²)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ADR