环中主理想乘积与乘积生成主理想相等的条件探究

首先我们先明确两个主理想乘积的定义：对于环$R$，主理想$(a)(b)$是所有形如$\sum_{i} r_i a s_i b$的有限和（其中$r_i, s_i \in R$），而$(ab)$是所有形如$r ab$（$r \in R$）的元素构成的主理想。显然$(ab) \subseteq (a)(b)$是恒成立的——因为$ab = 1 \cdot a \cdot 1 \cdot b$（若环含单位元），即使不含单位元，$ab$也可以表示为自身的单元素和，属于$(a)(b)$。所以问题核心转化为：什么时候$(a)(b) \subseteq (ab)$？

1. 交换环的情况：恒成立 #

不管是整环、UFD，还是有零因子的交换环，$(a)(b)=(ab)$都必然成立。原因很简单：在交换环中乘法可交换，所以任意项$r_i a s_i b$都可以改写为$ab \cdot r_i s_i$，有限和$\sum_{i} r_i a s_i b$就等于$ab \cdot \sum_{i} r_i s_i$，显然属于$(ab)$。因此交换环中这个等式总是成立，你的猜想（整环、UFD时成立）是对的，而且范围可以扩大到所有交换环。

举个有零因子交换环的例子：$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$中，取$a=2, b=3$，$(a)(b)$是所有$2x \cdot 3y = 6xy \equiv 0 \mod 6$，即$(a)(b)={0}$，而$(ab)=(6)=(0)$，二者相等。

2. 非交换环的情况：不一定成立，反例与成立条件 #

非交换环中很容易找到反例，比如实数域上的2阶矩阵环$M_2(\mathbb{R})$：

• 取$a=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$
• 计算$(a)(b)$：它包含所有形如$r a s b$的矩阵，比如取$r=\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix}$，$s=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}$，则$r a s b = \begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}$
• 而$(ab)$是由$ab=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$生成的主理想，所有元素都是$\begin{pmatrix}0&k\0&0\end{pmatrix}$（$k \in \mathbb{R}$），显然$\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}$不在其中，因此$(a)(b) \neq (ab)$。

非交换环中，以下两种情况可以保证$(a)(b)=(ab)$：

• $a$或$b$是环的中心元素：如果$a$属于环的中心$Z(R)$（即对任意$x \in R$，$ax=xa$），那么$r_i a s_i b = a r_i s_i b = ab \cdot r_i s_i$，有限和自然属于$(ab)$；同理$b$是中心元素时也成立。
• 更强的条件：环是交换环：这其实是上面情况的特例，此时所有元素都是中心元素。

总结 #

• 若$R$是交换环（包括整环、UFD、有零因子的交换环），则$(a)(b)=(ab)$恒成立；
• 若$R$是非交换环，则只有当$a$或$b$是中心元素，或者满足其他能让$r a s b$总能表示为$ab$的倍数的条件时，等式才成立，否则存在反例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user20354139