非零矩阵等式ABC=ADC是否必然推出B=D？

这个命题是错误的，核心原因是矩阵乘法不满足普通代数里的消去律——除非你用来消去的矩阵是可逆的，否则不能随便把等式两边的矩阵“约掉”。

我给你构造一个简单的反例，所有矩阵都是非零矩阵（满足题目要求的四个非零矩阵条件）：

# 2阶非零矩阵A
A = [[0, 1],
     [0, 0]]

# 不同的非零矩阵B和D
B = [[1, 0],
     [0, 0]]
D = [[2, 0],
     [0, 0]]

# 非零列矩阵C
C = [[1],
     [0]]

我们直接计算验证：

• $B \times C = \begin{bmatrix}1\times1 + 0\times0\0\times1 + 0\times0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}$，因此$ABC = A \times (B \times C) = \begin{bmatrix}0\times1 + 1\times0\0\times1 + 0\times0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}$
• $D \times C = \begin{bmatrix}2\times1 + 0\times0\0\times1 + 0\times0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\0\end{bmatrix}$，因此$ADC = A \times (D \times C) = \begin{bmatrix}0\times2 + 1\times0\0\times2 + 0\times0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}$

显然$ABC = ADC$，但$B \neq D$，而且四个矩阵都是非零的，直接推翻了原命题。

补充一下，什么时候这个命题才成立：

• 如果矩阵$A$是行满秩（或者说左可逆），那么可以从左边消去$A$，得到$BC = DC$；若此时$C$又是列满秩（右可逆），就能进一步得到$B=D$。
• 或者反过来，若$C$是列满秩，先消去右边的$C$得到$AB=AD$，再结合$A$行满秩（左可逆），就能推出$B=D$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Numox