关于多元函数可微性定理证明中反常渐近断言的技术问询

先理清楚原定理与证明片段 #

首先回顾原定理：

设 $f:\Bbb R^p\to\Bbb R$ 在点 $a$ 处具有连续偏导数，则 $f$ 在 $a$ 处可微。

原证明的核心片段是这样的：

证明：不失一般性，假设 $p=2$，令 $a:=(b,c)$，则有
$$f(b+h,c+k)-f(b,c)=f(b+h,c+k)-f(b+h,c)+f(b+h,c)-f(b,c)\tag1$$
一方面，
$$f(b+h,c)-f(b,c)=\partial_1 f(b,c)h+o(h)\tag2$$
另一方面，对函数 $t\mapsto f(b+h,t)$ 应用中值定理，可得
$$f(b+h,c+k)-f(b+h,c)=\partial_2 f(b+h,c+\theta k)k$$（注：原证明此处未完成，推测完整形式如上）

重点分析反常的渐近断言（式(2)） #

咱们直接点出问题：式(2)里的 $o(h)$ 写法是不严谨甚至错误的，原因在于整个证明的语境是要分析当 $(h,k)\to(0,0)$（也就是二维向量的模长 $\rho=\sqrt{h^2+k2}\to0$）时的极限行为，而不是仅考虑 $h\to0$ 的情况。

具体来说：

• 偏导数的定义告诉我们，$f(b+h,c)-f(b,c)=\partial_1 f(b,c)h + o(|h|)$，这里的 $o(|h|)$ 是当 $h\to0$ 时的高阶无穷小，但在二元函数可微的证明里，我们需要的是当 $\rho\to0$ 时的高阶无穷小，也就是 $o(\rho)$——因为不管 $h$ 和 $k$ 以什么方式趋近于0，只要 $\rho$ 足够小，这个余项都要比 $\rho$ 更快地趋近于0。
• 如果保留式(2)的 $o(h)$，当 $k$ 趋近于0的速度远快于 $h$ 时（比如 $k=h^2$），$o(h)$ 相对于 $\rho\approx|h|$ 是没问题，但如果 $h=0$ 而 $k\to0$，这个式子就完全失去意义了，这显然不符合可微定义要求的“任意方向趋近”的条件。

修正后的严谨表述 #

把式(2)改成下面这样就符合证明逻辑了：
$$f(b+h,c)-f(b,c)=\partial_1 f(b,c)h + o(\rho)$$
其中 $\rho=\sqrt{h^2+k2}$。这样后续结合中值定理得到的项——因为偏导数连续，$\partial_2 f(b+h,c+\theta k)=\partial_2 f(b,c) + \epsilon(h,k)$，其中 $\epsilon(h,k)\to0$ 当 $\rho\to0$——就能合并出：
$$f(b+h,c+k)-f(b,c)=\partial_1 f(b,c)h + \partial_2 f(b,c)k + o(\rho)$$
这正好完全匹配二元函数在点 $(b,c)$ 处可微的定义。

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