正确使用卡方概率：双侧置信区间推导正确性求证

咱们先把结论说在前头：这个推导在统计学主流的上侧分位数定义下是完全正确的，但得先搞清楚卡方分布分位数的定义细节——这是避免混淆的关键！

核心：卡方分位数的两种常见定义 #

统计学里卡方分布的分位数有两种标注方式，一定要先明确：

• 上侧分位数（主流）：$\chi^{2_{k}(\alpha)$代表满足$\mathbb{P}(\chi}2_k > \chi^2_{k}(\alpha)) = \alpha$的数值，也就是右侧尾部概率为$\alpha$的临界点。
• 下侧分位数：$\chi^{2_{k}(\alpha)$代表满足$\mathbb{P}(\chi}2_k \leqslant \chi^2_{k}(\alpha)) = \alpha$的数值，也就是左侧累积概率到$\alpha$的临界点。

基于上侧分位数的推导验证 #

当采用主流的上侧分位数定义时，咱们一步步看：
题目里的等式要求：
$$\mathbb P\left(c_1\leqslant\chi^2_{n-p}\leqslant c_2\right)=1-\alpha$$
这等价于卡方变量落在$[c_1,c_2]$之外的总概率是$\alpha$，对于双侧置信区间，我们通常把两侧的尾部概率各分配$\alpha/2$：

1. 右侧尾部：$\mathbb{P}(\chi^2_{n-p} > c_2) = \alpha/2$，根据上侧分位数的定义，直接可得$c_2=\chi^2_{n-p}(\alpha/2)$
2. 左侧尾部：$\mathbb{P}(\chi^2_{n-p} < c_1) = \alpha/2$，转换一下就是$\mathbb{P}(\chi^2_{n-p} > c_1) = 1 - \alpha/2$，所以$c_1=\chi^2_{n-p}(1-\alpha/2)$

这和题目里的推导完全一致，而且和给出的$\sigma^2$双侧置信区间形式完美匹配：
$$\left[\frac{\widehat\sigma^{2(n-p)}{c_2};\frac{\widehat\sigma}2(n-p)}{c_1}\right]$$
这里要注意，上侧分位数中，$\alpha$越小对应的分位数越大，因为$1-\alpha/2 > \alpha/2$，所以$\chi^2_{n-p}(1-\alpha/2) < \chi^2_{n-p}(\alpha/2)$，也就是$c_1 < c_2$，这样区间的下限小于上限，完全符合置信区间的合理性要求。

特殊情况：如果用下侧分位数会怎样？ #

要是有些教材用的是下侧分位数定义，那推导的对应关系就会反过来：

• 左侧累积概率$\alpha/2$对应$c_1=\chi^2_{n-p}(\alpha/2)$
• 左侧累积概率$1-\alpha/2$对应$c_2=\chi^2_{n-p}(1-\alpha/2)$

不过这时候代入置信区间公式，因为$c_2 > c_1$，区间的上下限依然是合理的，只是分位数的符号对应关系变了而已。

总结 #

回到你的问题：在统计学主流的上侧分位数定义下，这个推导是完全正确的，并且和给出的置信区间形式完全匹配。唯一需要注意的是不同教材可能对分位数的标注有差异，一定要先明确定义再对应取值哦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user534846