正整数值离散随机变量联合p.m.f.的边缘p.m.f.求解问询

嘿，别慌！这个问题的关键其实是先明确正整数离散随机变量的默认取值范围——题目里说X和Y是取值为正整数的变量，那默认它们的取值就是所有正整数：$x=1,2,3,\dots$，$y=1,2,3,\dots$，这是这类概率题的常规设定，不用题目额外说明~

接下来咱们一步步推导边缘概率质量函数：

根据边缘pmf的定义：

$p(x) = \sum_{y} p(x,y)$，这里的求和范围是Y的所有可能取值，也就是$y=1$到$+\infty$

把联合pmf $p(x,y)=2^{-x-y}$代入进去，可以拆成两个独立的项：
$$
p(x) = \sum_{y=1}^{\infty} 2^{-x-y} = 2^{-x} \sum_{y=1}^{\infty} 2^{-y}
$$

后面的求和是一个无穷等比数列：首项$a=2^{-1}=\frac{1}{2}$，公比$r=\frac{1}{2}$，无穷等比数列的和公式是$\frac{a}{1-r}$，代入计算：
$$
\sum_{y=1}^{\infty} 2^{-y} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1
$$

所以X的边缘pmf就是：
$$
p(x) = 2^{-x} = \left( \frac{1}{2} \right)^x \quad \text{其中} \ x=1,2,3,\dots
$$

完全同理，根据定义：

$p(y) = \sum_{x} p(x,y)$，求和范围是X的所有可能取值$x=1$到$+\infty$

代入联合pmf后拆分计算：
$$
p(y) = \sum_{x=1}^{\infty} 2^{-x-y} = 2^{-y} \sum_{x=1}^{\infty} 2^{-x} = 2^{-y} \times 1 = \left( \frac{1}{2} \right)^y \quad \text{其中} \ y=1,2,3,\dots
$$

因为X和Y的取值是无穷多个正整数，没法用有限的表格列全所有情况，所以用公式来表示边缘pmf是最准确的方式。另外你可能会发现，这个联合pmf刚好是两个边缘pmf的乘积（$p(x,y)=p(x)p(y)$），说明X和Y是相互独立的随机变量哦~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A. Port