内积的双线性形式能否双向扩展？双线性公理可拓展为其他形式吗？

问题1：内积对应的双线性形式是否能够向两侧进行扩展？ #

当然可以，而且这类扩展在不同的数学场景里都很实用：

• 定义域的扩展：如果我们一开始在有限维向量空间上定义内积的双线性形式，完全可以把它拓展到无限维的希尔伯特空间（或者更一般的拓扑向量空间）上——只要保证扩展后的形式满足连续性（或者相应的拓扑性质）。比如从有限维欧氏空间的点积，拓展到L²空间上的积分型内积，本质就是双线性形式的两侧扩展。
• 线性性质的拓展：标准的实内积是双线性的（对两个变量都线性），但在复向量空间里，我们通常会把它拓展成半双线性（sesquilinear）形式——也就是对第一个变量共轭线性，第二个变量线性，这样才能保证内积的正定性（比如$\langle u,u \rangle$是实数且非负）。这其实是对双线性形式的“侧部性质”做了适配性扩展。
• 代数结构的扩展：还能把双线性形式从向量空间拓展到更一般的代数结构，比如*模（module）*上的双线性映射，这时候标量域换成了环，形式依然保持对两个变量的线性（相对于环的运算）。

问题2：双线性公理定义为：其中c、d为标量，u、v、w为向量，该公理是否可拓展为类似的其他形式？ #

绝对可以，双线性的核心是“对每个变量单独线性”，基于这个核心我们可以拓展出不少变体：

• 多线性形式：把双线性（2个变量）拓展到k个变量的k-线性形式，比如三线性形式满足：
  $\langle u, v, cw_1 + dw_2 \rangle = c\langle u, v, w_1 \rangle + d\langle u, v, w_2 \rangle$，并且对每个变量都保持这个线性性质。张量积里的很多形式都是多线性的扩展。
• 反双线性形式：对其中一个变量是线性，另一个变量是反线性（比如满足$\langle cu, v \rangle = c^\langle u, v \rangle$，$\langle u, cv \rangle = c\langle u, v \rangle$，这里$c^$是标量的共轭），复内积其实就是这类扩展的典型，刚才问题1里也提到过。
• 拟双线性形式：在一些非交换代数里，还可以拓展出拟双线性形式，比如对第一个变量是左线性，第二个变量是右线性（当标量域是非交换环时），形式为$\langle cu, vd \rangle = c\langle u, v \rangle d$，这在非交换代数的表示论里很常见。
• 对称/反对称双线性形式的拓展：从普通双线性出发，还可以限定对称性（$\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$）或者反对称性（$\langle u, v \rangle = -\langle v, u \rangle$），进一步拓展出对称双线性形式（比如二次型对应的形式）、辛形式（反对称非退化双线性形式）等特殊子类，这些在几何和物理里都有大量应用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Benjamin Miller