求助：x个顶点的完全图边数公式(x²-x)/2的归纳法证明

别担心，刚接触归纳法确实容易摸不着头脑，我一步步带你搞定这个证明！

首先先明确核心定义：完全图指每对不同顶点之间都恰好有一条边相连的无向图，通常记为$K_x$。

步骤1：验证基础情况（Base Case） #

归纳法的第一步总是从最小的、最直观的情况入手验证：

• 当$x=1$时：只有1个顶点，没有边。代入公式$\frac{1^2 - 1}{2} = 0$，和实际边数完全一致，成立。
• 当$x=2$时：两个顶点之间有且仅有1条边。代入公式$\frac{2^2 - 2}{2} = \frac{4-2}{2}=1$，匹配实际情况，成立。
• （可选补充验证）当$x=3$时：三角形结构有3条边，公式计算$\frac{9-3}{2}=3$，完全吻合，进一步确认基础逻辑没问题。

步骤2：提出归纳假设（Inductive Hypothesis） #

这是归纳法的核心假设环节：假设当$x=k$（$k$为任意正整数，且$k\geq1$）时，$k$个顶点的完全图$K_k$的边数确实等于$\frac{k^2 - k}{2}$。

步骤3：归纳步骤（Inductive Step）—— 证明$x=k+1$时成立 #

现在我们要推导：当顶点数为$k+1$时，完全图$K_{k+1}$的边数符合公式$\frac{(k+1)^2 - (k+1)}{2}$。

可以用“增量法”来思考：把$K_{k+1}$看成是在$K_k$的基础上新增1个顶点得到的图：

• 根据归纳假设，$K_k$已经有$\frac{k^2 - k}{2}$条边。
• 因为是完全图，新增的这个顶点必须和原来的$k$个顶点各连一条边，所以会新增$k$条边。
• 那么$K_{k+1}$的总边数就是：原有边数 + 新增边数 = $\frac{k^2 - k}{2} + k$

接下来化简这个式子：

$\frac{k^2 - k}{2} + k = \frac{k^2 - k + 2k}{2} = \frac{k^2 + k}{2} = \frac{(k+1)k}{2}$

再看看目标公式$\frac{(k+1)^2 - (k+1)}{2}$的展开结果：

$\frac{(k^2 + 2k +1) - k -1}{2} = \frac{k^2 + k}{2}$

两者完全相等！这就证明了当$x=k+1$时，公式同样成立。

最终结论 #

基础情况成立，且若$x=k$时公式成立则$x=k+1$时也成立，根据数学归纳法的原理，对于所有正整数$x$，$x$个顶点的完全图的边数恒为$\frac{x^2 - x}{2}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MrGameandWatch