含非负实参数k的四次不等式x⁴+4−k²解集求解疑问

咱们一步一步把这个问题理清楚，先从不等式变形入手，再结合非负参数k的不同取值范围分析，就能把两个不等式的解集彻底搞明白：

先做核心变形 #

把原不等式转化为更直观的形式：

• 不等式 x⁴ + 4 - k² > 0 移项后得到：x⁴ > k² - 4
• 不等式 x⁴ + 4 - k² ≤ 0 移项后得到：x⁴ ≤ k² - 4

因为k是非负实参数（k≥0），我们分三种情况讨论：

情况1：0 ≤ k < 2 #

这时候k² < 4，所以k² - 4是负数。

• 对于x⁴ > k² - 4：任何实数x的四次方x⁴都是非负的（≥0），非负数肯定大于负数，所以所有实数x都满足这个不等式——这就是导师说的“大x”（其实是所有x都符合，没有限制）。
• 对于x⁴ ≤ k² - 4：左边是≥0的数，右边是负数，不可能成立，所以这个不等式没有实数解。

情况2：k = 2 #

此时k² - 4 = 0，代入后：

• x⁴ > 0：只要x不是0，x的四次方就大于0，所以解集是所有非零实数。
• x⁴ ≤ 0：只有x=0时，四次方等于0，满足不等式，所以解集是x=0。

情况3：k > 2 #

这时候k² - 4是正数，我们可以对不等式两边开四次方（四次方根在非负区间是单调递增的，结果也是非负的）：

• 对于x⁴ > k² - 4：开四次方后得到|x| > (k² - 4)^(1/4)，也就是x大于(k² - 4)^(1/4)，或者x小于- (k² - 4)^(1/4)——这就是导师说的“大x”（绝对值大的那些x）。
• 对于x⁴ ≤ k² - 4：开四次方后得到|x| ≤ (k² - 4)^(1/4)，也就是x在- (k² - 4)^(1/4)到(k² - 4)^(1/4)之间（包括端点）——这就是导师说的“小x”（绝对值小的那些x）。

对你疑问的解答 #

你问“是否仅当k>2时才有解”，得分清楚是哪个不等式的解：

• 对于x⁴ + 4 - k² ≤ 0：k=2时也有唯一解x=0，k>2时有一个连续的区间解，只有k<2时才无解。所以不是仅k>2时才有解，k=2时也存在解。
• 对于x⁴ + 4 - k² > 0：不管k取哪个非负值，这个不等式都有解——k<2时所有x都满足，k=2时除了x=0都满足，k>2时是绝对值大的x满足。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者anouk