求与直线y=mx+b及x=-1、x=1相切的两圆的圆心纵坐标

让我一步步帮你理清这个问题的解法：

1. 确定圆心与圆的半径 #

因为题目明确说圆心在y轴上，所以我们可以设圆心坐标为(0, k)，这里的k就是我们要找的纵坐标。

接下来，这个圆要和直线x=-1、x=1都相切。我们知道，圆心到切线的距离等于圆的半径：

• 圆心(0,k)到直线x=-1的距离是|0 - (-1)| = 1
• 圆心(0,k)到直线x=1的距离是|0 - 1| = 1

所以这个圆的半径r必然等于1，对应的圆的方程就是：

x² + (y - k)² = 1

2. 利用圆与直线l相切的条件 #

直线l的方程是y = mx + b，我们先把它转化为标准的一般式：mx - y + b = 0。

对于圆和直线相切的情况，圆心到直线的距离必须等于半径。根据点到直线的距离公式，圆心(0,k)到直线mx - y + b = 0的距离为：

|m*0 - k + b| / √(m² + (-1)²) = |b - k| / √(m² + 1)

这个距离要等于半径1，所以我们可以列出等式：

|b - k| / √(m² + 1) = 1

3. 解方程求出k的值 #

把上面的等式两边同时乘以√(m² + 1)，得到：

|b - k| = √(m² + 1)

去掉绝对值符号后，会有两种情况：

• 当b - k = √(m² + 1)时，解得k = b - √(m² + 1)
• 当b - k = -√(m² + 1)时，解得k = b + √(m² + 1)

所以，这两个圆的圆心纵坐标分别是b + √(m² + 1)和b - √(m² + 1)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sitiposit