求连续可微函数f的三阶导数与一阶导数乘积的定积分

嘿，你的分部积分第一步其实是完全正确的，而且这个结果已经是我们能得到的最简化形式啦！让我帮你梳理清楚：

你的初始推导回顾 #

你设 $u' = f^{(3)}(x)$（即 $u = f''(x)$），$v = f'(x)$（即 $v' = f''(x)$），通过分部积分公式 $\int u'v dx = uv|_a^b - \int uv' dx$，得到：
$$\int_a^b f^{(3)}(x)f'(x)dx = f''(b)f'(b) - f''(a)f'(a) - \int_a^b \left[f''(x)\right]^2 dx$$

为什么第二次分部积分会循环？ #

当你尝试对 $\int_a^b \left[f''(x)\right]^2 dx$ 再次分部积分时，假设设 $u = f''(x)$，$dv = f''(x)dx$，那么 $du = f^{(3)}(x)dx$，$v = f'(x)$，代入分部积分公式就会得到：
$$\int_a^b \left[f''(x)\right]^2 dx = f''(b)f'(b) - f''(a)f'(a) - \int_a^b f^{(3)}(x)f'(x)dx$$
这就直接回到了原积分，自然会出现循环——这说明我们没法通过分部积分把这个积分转化为更简单的初等函数表达式。

最终结论 #

在仅知道 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续可微（实际上这里需要函数三阶连续可导，因为出现了 $f^{(3)}(x)$）的情况下，你第一次分部积分得到的结果就是这个定积分的最简形式了：
$$\boxed{\int_a^b f^{(3)}(x)f'(x)dx = f'(b)f''(b) - f'(a)f''(a) - \int_a^b \left[f''(x)\right]^2 dx}$$
如果要进一步计算出具体数值，必须知道 $f(x)$ 的具体表达式才行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noy