关于修正蕴含式中存在量词子句及数论命题量词用法的咨询

咱们先把这个命题的逻辑结构拆明白，再修正量词的问题哈～

首先，原命题的自然语言表述是：若r整除s且r不整除t，则s不整除t，用逆否命题思路证明没问题，但符号化的时候量词的顺序和归属要注意。

先拆解前提与结论的正确符号化 #

• 前提部分：$(r \mid s) \land (r \nmid t)$
  展开成定义就是：$\exists k \in \mathbb{Z}, s = kr$（r整除s的定义：存在整数k使得s=kr），同时$\forall m \in \mathbb{Z}, t \neq mr$（r不整除t的定义：不存在整数m使得t=mr，等价于对所有整数m，t≠mr）。
• 结论部分：$s \nmid t$
  它的定义是：$\forall m \in \mathbb{Z}, t \neq ms$（不存在整数m使得t=ms，等价于对所有整数m，t≠ms）。

修正蕴含式中的量词问题 #

你之前的写法里，结论部分错误地重复了$\exists k \in \mathbb{Z}$，这是不对的——因为前提里的k是已经确定的某个固定整数（由r和s的整除关系唯一存在的），在结论里我们要沿用这个k，而不是重新“存在”一个随m变化的k。

正确的完整符号化应该是：
$$\left( \exists k \in \mathbb{Z}, s = kr \land \forall m \in \mathbb{Z}, t \neq mr \right) \implies \forall m \in \mathbb{Z}, t \neq mkr$$

为什么不能在结论里写$\exists k$？因为原结论是“s不整除t”，而s已经被前提里的k确定为kr了，所以结论本质是“对任意整数m，t都不等于m乘以这个固定的kr”，如果写成$\forall m \in \mathbb{Z}, \exists k \in \mathbb{Z}, t\ne mkr$，逻辑就变成了“对每个m，都能找到某个k让t≠mkr”，这和原命题要表达的意思完全不一致——毕竟随便找个k都能满足t≠mkr太容易了，但我们要的是针对那个固定的、让s=kr的k，所有m都满足t≠mkr。

所以你感觉“在结论中忽略k更为合理”是对的，准确来说是不需要重新量化k，直接使用前提中已经存在的那个k就好。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender