基于均值定理的二阶导数不等式证明问题咨询

先明确已知条件：

• 函数$f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$二阶可导
• $f(0)=0$
• $f(-1)+f(1)>0$

你已经完成了前两步推导，我来接着往下完成证明：

第一步：你已得到的中值结果 #

对$f$分别在$[-1,0]$和$[0,1]$上应用拉格朗日中值定理，得到：

• 存在$x_1\in(-1,0)$，满足 $f'(x_1)=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=-f(-1)$
• 存在$x_2\in(0,1)$，满足 $f'(x_2)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)$

第二步：对$f'$应用中值定理并推导结论 #

因为$f$二阶可导，所以$f'$在区间$[x_1,x_2]$上连续且可导（注意$x_1<0<x_2$，因此$[x_1,x_2]\subset(-1,1)$）。对$f'$应用拉格朗日中值定理，存在$x_0\in(x_1,x_2)\subset(-1,1)$，使得：
$$f''(x_0)=\frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}$$

把第一步得到的$f'(x_1)$和$f'(x_2)$代入上式：
$$f''(x_0)=\frac{f(1)-(-f(-1))}{x_2-x_1}=\frac{f(1)+f(-1)}{x_2-x_1}$$

接下来分析分母$x_2-x_1$的范围：
因为$x_1\in(-1,0)$，所以$-x_1<1$；$x_2\in(0,1)$，所以$x_2<1$。两者相加可得：
$$x_2 - x_1 = x_2 + (-x_1) < 1 + 1 = 2$$
同时显然$x_2-x_1>0$（因为$x_2>0>x_1$），因此$\frac{1}{x_2-x_1}>\frac{1}{2}$。

结合已知条件$f(-1)+f(1)>0$，两边同时乘以正数$\frac{1}{x_2-x_1}$，不等号方向不变：
$$\frac{f(1)+f(-1)}{x_2-x_1}>\frac{1}{2}(f(1)+f(-1))$$

代入到$f''(x_0)$的表达式中，就得到：
$$f''(x_0)>\frac{1}{2}(f(-1)+f(1))$$

这样就完成了证明，$x_0$就是我们要找的$(-1,1)$内的点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leos Kotrop