两容器奶与水混合转移问题：重复操作后奶量与首次转移后相等

咱们先一步步拆解这个问题，先明确每次操作后容器的状态，再根据“重复操作后牛奶量与首次操作完成后相同”这个条件联立等式求解。

首次操作完成后的牛奶量 #

初始状态：容器1有$x$加仑纯牛奶，容器2有$y$加仑纯水。

1. 第一步：从容器1向容器2转移$z$加仑牛奶

   • 容器1剩余牛奶量：$x - z$，总量变为$x - z$
   • 容器2的牛奶量变为$z$，总量变为$y + z$，此时容器2的牛奶浓度为 $\frac{z}{y+z}$

2. 第二步：从容器2向容器1转移$z$加仑混合液

   • 这$z$加仑混合液中含有的牛奶量为 $z \times \frac{z}{y+z} = \frac{z^2}{y+z}$
   • 容器1最终牛奶量：$(x - z) + \frac{z^2}{y+z} = \frac{(x-z)(y+z) + z^2}{y+z} = \frac{xy + xz - zy}{y+z}$，记为$M_1$
   • 容器2最终牛奶量：$z - \frac{z^2}{y+z} = \frac{zy}{y+z}$，记为$M_2$

注意：操作完成后，容器1总量回到$x$，容器2总量回到$y$，因为转出和转入的量都是$z$。

第二次操作完成后的牛奶量 #

基于首次操作后的状态重复同样步骤：

1. 第一步：从容器1向容器2转移$z$加仑混合液

   • 容器1的牛奶浓度为 $\frac{M_1}{x} = \frac{xy + xz - zy}{x(y+z)}$
   • 转出的$z$加仑混合液中牛奶量为 $z \times \frac{xy + xz - zy}{x(y+z)}$
   • 容器1此时剩余牛奶量：$M_1 - z \times \frac{M_1}{x} = M_1 \times \frac{x-z}{x}$

2. 第二步：从容器2向容器1转移$z$加仑混合液

   • 容器2此时的牛奶总量为 $M_2 + z \times \frac{xy + xz - zy}{x(y+z)} = \frac{zy}{y+z} + \frac{z(xy + xz - zy)}{x(y+z)}$
   • 容器2的牛奶浓度为 $\frac{\frac{zy}{y+z} + \frac{z(xy + xz - zy)}{x(y+z)}}{y+z} = \frac{z(2xy + xz - zy)}{x(y+z)^2}$
   • 转入容器1的$z$加仑混合液中牛奶量为 $z \times \frac{z(2xy + xz - zy)}{x(y+z)^2} = \frac{z^2(2xy + xz - zy)}{x(y+z)^2}$
   • 容器1最终牛奶量：$M_1 \times \frac{x-z}{x} + \frac{z^2(2xy + xz - zy)}{x(y+z)^2}$，记为$M_1'$

联立等式求解 #

根据题意，$M_1' = M_1$，代入得：
$$
M_1 \times \frac{x-z}{x} + \frac{z^2(2xy + xz - zy)}{x(y+z)^2} = M_1
$$

两边乘以$x$消去分母：
$$
M_1(x-z) + \frac{z^2(2xy + xz - zy)}{(y+z)^2} = xM_1
$$

移项并提取公因子：
$$
-zM_1 + \frac{z^2(2xy + xz - zy)}{(y+z)^2} = 0
$$

两边除以$z$（$z \neq 0$，否则操作无意义）：
$$
-M_1 + \frac{z(2xy + xz - zy)}{(y+z)^2} = 0
$$

将$M_1 = \frac{xy + xz - zy}{y+z}$代入上式，两边乘以$(y+z)^2$：
$$
(xy + xz - zy)(y+z) = z(2xy + xz - zy)
$$

展开并化简后，所有中间项抵消，最终得到：
$$
y^2(x - z) = 0
$$

因为$y \neq 0$（否则容器2为空，操作无意义），所以唯一解为：
$$
z = x
$$

验证结论 #

当$z=x$时：

• 首次操作后，容器1牛奶量为$\frac{x^2}{x+y}$，容器2为$\frac{xy}{x+y}$
• 第二次操作时，将容器1的全部$x$加仑混合液转入容器2，再转回$x$加仑混合液，由于容器2的牛奶浓度始终为$\frac{x}{x+y}$，转回的牛奶量还是$\frac{x^2}{x+y}$，因此容器1的牛奶量与首次操作后完全相同，符合题意。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheSYNcoder