求泊松分布参数μ的极大似然估计：含阶乘项求导困惑

嘿，我完全懂你卡在阶乘项的烦恼——其实这里有个超实用的小技巧，用对数似然函数就能轻松绕开阶乘求导的麻烦！让我一步步给你拆解整个求解过程：

1. 先构造似然函数 #

已知样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$独立同分布于参数为μ的泊松分布，似然函数就是所有样本概率质量函数的乘积：
$$
L(\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{\mu^{X_i} e^{-\mu}}{X_i!}
$$
你说的阶乘项就在分母里，直接对这个乘积求导确实会很棘手，所以接下来我们换个思路——取对数！

2. 转换为对数似然函数 #

对数的魔力在于能把乘积变成求和，还能把指数项降下来，更关键的是：样本$X_i$是已经观测到的固定值，所以$\ln(X_i!)$是常数，对μ求导时直接就消失了！

把似然函数取自然对数后：
$$
\ln L(\mu) = \sum_{i=1}^n \left( X_i \ln \mu - \mu - \ln(X_i!) \right)
$$
展开后可以拆成更清晰的形式：
$$
\ln L(\mu) = \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \ln \mu - n\mu - \sum_{i=1}^n \ln(X_i!)
$$
看到没？最后那项全是常数，求导时直接忽略就行！

3. 求导并找极值点 #

现在对$\ln L(\mu)$关于μ求导：
$$
\frac{d}{d\mu} \ln L(\mu) = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\mu} - n
$$
令导数等于0（极大似然估计的核心就是找似然函数的极值点），解这个方程：
$$
\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\mu} - n = 0
$$
简单移项后就能得到：
$$
\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \bar{X}
$$

4. 确认这是极大值 #

为了确保这个点是极大值而非极小值，我们可以求二阶导数验证：
$$
\frac{d^2}{d\mu2} \ln L(\mu) = -\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\mu^2}
$$
因为泊松分布的取值是非负的，所以$\sum_{i=1}^n X_i \geq 0$，再加上μ>0，二阶导数必然小于0，说明这个点确实是对数似然函数的极大值点，也就是我们要找的极大似然估计。

总结一下：μ的极大似然估计就是样本均值$\bar{X}$！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者charles1232