不使用向量叉积计算三角形顶点到对边的最短距离（高度）

嘿，我来分享一个完全不用向量叉积的最基础解法，纯靠代数和二次函数求最值就能搞定，步骤清晰又好理解：

步骤1：写出AB边的参数方程 #

首先，我们用参数t表示线段AB上的任意一点P(t)。先算出AB的坐标差：B - A = (4 - (-6), 1 - (-8), 1 - (-1)) = (10, 9, 2)，所以AB边的参数方程为：

P(t) = (-6 + 10t, -8 + 9t, -1 + 2t)

这里t是实数，当t∈[0,1]时，P(t)在线段AB上；若t超出这个范围，则对应AB延长线上的点。

步骤2：构建距离平方的二次函数 #

因为距离的最小值点和距离平方的最小值点完全一致，且平方后能省去开根号的计算麻烦，我们写出点C到P(t)的距离平方函数D(t)：

D(t) = [2 - (-6 + 10t)]² + [-5 - (-8 + 9t)]² + [-4 - (-1 + 2t)]²

先化简每个括号内的项：

• 2 - (-6 + 10t) = 8 - 10t
• -5 - (-8 + 9t) = 3 - 9t
• -4 - (-1 + 2t) = -3 - 2t

再展开平方并合并同类项：

D(t) = (8-10t)² + (3-9t)² + (-3-2t)²
     = (64 - 160t + 100t²) + (9 - 54t + 81t²) + (9 + 12t + 4t²)
     = 185t² - 202t + 82

步骤3：找到二次函数的最小值点 #

对于标准二次函数ax² + bx + c，它的最小值出现在t = -b/(2a)处。这里a=185，b=-202，代入得：

t = 202/(2*185) = 101/185 ≈ 0.546

这个t值在[0,1]区间内，说明对应的垂足P(t)在线段AB上，符合我们的需求。

步骤4：计算最短距离 #

用二次函数最小值公式(4ac - b²)/(4a)算出最小距离的平方：

最小距离平方 = (4*185*82 - 202²)/(4*185)
             = (60680 - 40804)/740
             = 19876/740
             = 4969/185 ≈ 26.86

对结果开根号，就得到顶点C到AB边的最短距离：

最短距离 = √(4969/185) ≈ 5.18

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fish_In_A_Suit