有限测度空间下，连续函数复合定义的L¹算子是否连续？

咱们先把问题明确下来：给定连续函数$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，有限测度空间$(\Omega,\mathscr{f},\mu)$，定义非线性算子$\varphi:L^1\to L^1$为$\varphi(f)=g\circ f$，且已知对所有$L^{1$中的函数$f$，$g(f)$都属于$L}1$。现在要判断这个$\varphi$是不是连续算子。

结论：$\varphi$一定是连续算子 #

下面咱们一步步拆解为什么是这样：

第一步：补充条件等价于$g$的线性增长

题目里“对任意$f\in L^1$，$g(f)\in L^1$”这个条件，其实强制了$g$必须满足线性增长——也就是存在常数$A,B>0$，使得对所有实数$t$，都有$|g(t)|\leq A+B|t|$。

咱们用反证法来证明：假设$g$不满足线性增长，那对每个正整数$n$，总能找到某个$t_n\in\mathbb{R}$，使得$|g(t_n)|>n|t_n|$。不妨假设$t_n>0$且$t_n$趋向无穷大（如果$t_n$有界，那$g$在有界区间上连续必有界，自然满足线性增长）。

现在构造一个$L^{1$中的函数$f$：取$\Omega$里两两不交的可测集${E_n}$，让$\mu(E_n)=\frac{1}{n}2 t_n}$，然后定义$f(x)=\sum_{n=1}^\infty t_n\chi_{E_n}(x)$。计算$f$的$L^1$范数：
$$|f|1=\sum{n=1}^\infty t_n\cdot\mu(E_n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$
这个级数收敛，所以$f\in L^{1$。但再看$g(f)$的$L}1$范数：
$$|g(f)|1=\sum{n=1}^\infty |g(t_n)|\cdot\mu(E_n)>\sum_{n=1}^\infty \frac{n t_n}{n^2 t_n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$
这个级数发散，这就和“$g(f)\in L^1$”的条件矛盾了。所以$g$必须满足线性增长。

第二步：用线性增长证明$\varphi$连续

现在有了$g$的线性增长条件，咱们就可以证明$\varphi$的连续性了。连续性的定义是：如果$f_n$在$L^1$中收敛到$f$，那么$\varphi(f_n)=g\circ f_n$也必须在$L^1$中收敛到$\varphi(f)=g\circ f$。

具体推导如下：

1. 因为$g$是连续函数，对任意给定的$\epsilon>0$，总能找到一个$\delta>0$，只要$|a-b|<\delta$，就有$|g(a)-g(b)|<\epsilon$。
2. 把$|g\circ f_n - g\circ f|1$的积分拆成两部分：在$|f_n-f|<\delta$的区域，和$|f_n-f|\geq\delta$的区域：
   $$\int\Omega |g(f_n)-g(f)|d\mu = \int_{{|f_n-f|<\delta}} |g(f_n)-g(f)|d\mu + \int_{{|f_n-f|\geq\delta}} |g(f_n)-g(f)|d\mu$$
3. 第一部分积分很好处理：因为在这个区域里$|g(f_n)-g(f)|<\epsilon$，所以积分结果不超过$\epsilon\cdot\mu(\Omega)$，只要$\epsilon$足够小，这部分可以任意小。
4. 第二部分积分，咱们用$g$的线性增长条件：$|g(a)-g(b)|\leq|g(a)|+|g(b)|\leq 2A+B(|a|+|b|)$，所以：
   $$\int_{{|f_n-f|\geq\delta}} |g(f_n)-g(f)|d\mu \leq 2A\mu({|f_n-f|\geq\delta}) + B\left(\int_{{|f_n-f|\geq\delta}}|f_n|d\mu + \int_{{|f_n-f|\geq\delta}}|f|d\mu\right)$$
5. 现在看这几项的极限：
   • 根据Chebyshev不等式，$\mu({|f_n-f|\geq\delta})\leq\frac{1}{\delta}|f_n-f|_1$，而$f_n\to f$ in $L^1$，所以这部分趋向0。
   • 对于$\int_{{|f_n-f|\geq\delta}}|f_n|d\mu$，可以写成$\int_{{|f_n-f|\geq\delta}}|(f_n-f)+f|d\mu\leq|f_n-f|1 + \int{{|f_n-f|\geq\delta}}|f|d\mu$，前一项趋向0，后一项因为$f\in L^1$，当$n$足够大时，$|f_n-f|\geq\delta$的区域测度趋向0，所以积分也趋向0。
   • 同理，$\int_{{|f_n-f|\geq\delta}}|f|d\mu$也趋向0。

把这些加起来，当$n$趋向无穷大时，第二部分积分也趋向0。所以整个$|g\circ f_n - g\circ f|_1$趋向0，也就是$\varphi$是连续算子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Octave