玻色子哈密顿量中的虚频问题：论文计算技术问询

最近我在推进自己的论文计算工作，核心研究对象是如下形式的玻色子哈密顿量：

$$
H=\sum_{\vec{k}}\alpha\ a^{{+}_{\vec{k}}a}{+}{-\vec{k}} + \beta\ a^{{+}_{\vec{k}}a}{-}{\vec{k}} +\gamma\ a^{{-}_{\vec{k}}a}{+}{\vec{k}} + \delta\ a^{{-}_{\vec{k}}a}{-}{-\vec{k}}
$$

这里需要明确几个关键符号的含义：

• $a^{+}$ 代表产生算符，$a^{-}$ 代表湮灭算符
• $\alpha、\beta、\gamma、\delta$ 均为实系数，且可以作为波矢 $\vec{k}$ 的函数

在量子力学框架下，哈密顿量的厄米性是核心约束条件之一，经过推导可以确定：上述哈密顿量仅当 $\boldsymbol{\alpha=\delta}$ 时，才能满足厄米性要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者P. C. Spaniel