小δ下$y :=cos(x+δ)-cos(x)$的计算难点及等价表达式求解

嘿，这个数值计算里的经典坑我太熟了！咱们一步步来拆解问题：

核心问题就是舍入抵消误差：当δ趋近于0时，x+δ和x几乎重合，对应的cos(x+δ)和cos(x)的值也会非常接近——甚至接近到在浮点数的存储精度里，高位的有效数字完全一样。

举个实际的例子：用双精度浮点数（64位，约15-17位有效数字）计算，假设x=1，δ=1e-15，cos(1)≈0.5403023058681398，cos(1+1e-15)≈0.5403023058681397。直接相减的话，高位的15位有效数字都抵消了，只剩下最后一位的差异，而这最后一位本身就可能是浮点数舍入带来的噪声，结果的精度直接暴跌到几乎不可用。

这种相近数相减的情况，是数值计算里最容易触发精度丢失的场景之一。

解决这个问题的关键是用三角恒等式把减法转换成乘法，从根源上避免舍入抵消。回忆余弦的差化积公式：

cos(A) - cos(B) = -2·sin((A+B)/2)·sin((A-B)/2)

把A = x+δ，B = x代入进去，就能得到严格等价的表达式：

cos(x+δ) - cos(x) = -2·sin(x + δ/2)·sin(δ/2)

为什么这个表达式就没问题？

• 当δ极小时，sin(δ/2)是一个明确的小数值（小角度下甚至可以近似为δ/2，但恒等式本身是精确的），不需要和任何相近数相减；
• sin(x + δ/2)和sin(x)虽然接近，但这里是乘法操作，乘法只会缩放数值，不会像减法那样直接抵消高位有效数字，自然也就不会触发舍入抵消的问题。

还是用刚才的例子验证：x=1，δ=1e-15，sin(x+δ/2)=sin(1+5e-16)≈0.8414709848078965，sin(δ/2)=sin(5e-16)≈5e-16，计算结果为-2×0.8414709848078965×5e-16≈-8.414709848078965e-16，这个结果的精度完全符合浮点数的存储能力，没有任何不必要的误差。

如果δ小到极致，你还可以用小角度近似sin(δ/2)≈δ/2，把表达式简化为-sin(x)·δ——这是一个近似式，适合对精度要求稍低或者需要更快计算的场景；但如果要严格精确，一定要用前面的差化积恒等式版本。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SuperMathBrothers