证明$\frac{\sin(x)}{1+|x|}$不具备勒贝格可积性的技术问询

嘿，我来帮你把这个证明的思路和格式整理清楚，完全贴合Stack Overflow的风格：

我们的核心策略是：通过证明该函数不是绝对反常黎曼可积，进而推导它不是勒贝格可积（依据勒贝格可积的关键性质：若函数勒贝格可积，则必绝对可积；其逆否命题即为：不绝对可积的函数一定不是勒贝格可积）。

具体推导步骤如下：

• 取充分小的 $\epsilon > 0$，比如令 $\epsilon = \frac{\pi}{n}$，其中 $n$ 是足够大的正整数（$n \in \mathbb{N}$）。
• 在区间 $[\epsilon + k\pi, (k+1)\pi - \epsilon]$ 上，$|\sin(x)|$ 能取到一个正的最小值，记为 $\alpha > 0$。这是因为这个区间内的点距离 $\sin(x)$ 的零点（$k\pi$ 和 $(k+1)\pi$）至少有 $\epsilon$ 的距离，所以 $\sin(x)$ 的绝对值不会趋近于0，必然存在一个正的下界 $\alpha$。

基于以上分析，我们可以得到积分的下界估计：
$$
\int_{-R\pi}^{R\pi} \left|\frac{\sin(x)}{1+|x|} \right| dx \geq \alpha \int_{0}^{R\pi} \left|\frac{1}{1+x} \right| dx
$$

接下来只需要证明，当 $R \to +\infty$ 时右边的积分趋向于无穷大，就能说明左边的反常积分发散——也就是 $\frac{\sin(x)}{1+|x|}$ 不是绝对反常黎曼可积，从而推出它不是勒贝格可积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JohnDD