判断满足B²+AB+2I=0的四类矩阵是否必非奇异及解法验证

设矩阵A和B满足关系式$B^2+AB+2I=0$，请问以下四个矩阵是否一定是非奇异矩阵？
(a) $A$ (b) $B$ (c) $A+2I$ (d) $B+2I$

我的尝试过程 #

$$B^2+AB+2I=0$$
$$\Rightarrow B^2+AB= -2I$$
$$\Rightarrow B(A+B)= -2I$$
$$\Rightarrow |B(A+B)|= |-2I|$$
$$\Rightarrow |B||A+B|= (-2)^3|I|=-8$$
因此，$$|B|\not= 0$$
所求答案为B。我的做法是否正确？

解答分析 #

你的核心推导是完全正确的！从给定关系式变形得到$B(A+B) = -2I$后，两边取行列式：因为行列式的乘积等于乘积的行列式，而$|-2I|=(-2)^n \neq 0$（n为矩阵的阶数，原尝试默认是3阶矩阵，但不管阶数是多少，这个值都不为0），所以$|B|$必然不等于0，这直接证明了$B$一定是非奇异矩阵。

我们再补充分析其他选项，明确它们为什么不一定非奇异：

• 对于(a) $A$：可以构造反例，比如取$B = \sqrt{2}iI$（复数域场景），代入原式可得$(\sqrt{2}iI)^2 + A(\sqrt{2}iI) + 2I = -2I + \sqrt{2}iA + 2I = \sqrt{2}iA = 0$，此时$A=0$，是奇异矩阵；实数域下也能找到例子，比如2阶矩阵$B=\begin{pmatrix}0 & 1 \ -2 & 0\end{pmatrix}$，代入原式可解得$A=0$，同样满足等式且$A$奇异。
• 对于(c) $A+2I$：构造反例，取$B=\begin{pmatrix}1 & 1 \ -1 & 1\end{pmatrix}$，$A=\begin{pmatrix}-2 & 0 \ 0 & -2\end{pmatrix}$，代入原式验证：$B^2=\begin{pmatrix}0 & 2 \ -2 & 0\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}-2 & -2 \ 2 & -2\end{pmatrix}$，$B^2+AB+2I=\begin{pmatrix}0-2+2 & 2-2+0 \ -2+2+0 & 0-2+2\end{pmatrix}=0$，此时$A+2I=0$，是奇异矩阵，说明$A+2I$不一定非奇异。
• 对于(d) $B+2I$：取$B=-2I$，代入原式得$(-2I)^2 + A(-2I) +2I=4I-2A+2I=6I-2A=0$，即$A=3I$，此时$B+2I=0$，是奇异矩阵，所以$B+2I$也不一定非奇异。

综上，只有(b) $B$一定是非奇异矩阵，你的结论完全正确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user440191