受限移动场景下：三人依次向自身构成三角形重心移动能否相遇？

结论：能，三人最终会成功汇合

我们可以通过分析每次移动后三人位置的关键特征来推导这个结论：

• 首先明确重心的定义：对于三个点 (A, B, C)，重心 (G) 的坐标是三个点坐标的平均值，即 (G = \frac{A+B+C}{3})。
• 定义三人两两距离的平方和 (S = |AB|^2 + |BC|^2 + |CA|^2)。根据重心的性质，这个值和三个点到重心的距离平方和直接相关：(S = 3(|GA|^2 + |GB|^2 + |GC|^2))。
• 当其中一人（比如 (A)）向重心 (G) 移动一段距离到 (A') 时，我们可以计算新的平方和 (S')：
  设 (A') 是线段 (AG) 上的点，即 (A' = A + t(G - A))（其中 (0 < t \leq 1)，(t) 是随机选择的移动比例）。代入计算后会发现：
  [
  S' = S - 2t(3 - t)|GA|^2
  ]
  由于 (0 < t \leq 1)，(2t(3 - t)|GA|^2) 是正数，因此 (S' < S) —— 每次移动都会严格减小三人两两距离的平方和。

接下来用收敛性分析：

• (S) 是一个非负的数值，且每次移动后严格递减，根据单调有界定理，(S) 必然会收敛到某个极限值 (S_0)。
• 假设 (S_0 > 0)，说明三人还能构成非退化的三角形，此时继续移动仍会让 (S) 进一步减小，这与 (S) 收敛到 (S_0) 矛盾。因此只能有 (S_0 = 0)，即三人最终会汇合。

哪怕每次只移动极小的距离，只要遵循规则向重心移动，三人的距离就会持续趋近于零，最终实现汇合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StarDia