求证若$n^3-7n^2 + n$为奇数则n为奇数，求解题思路

一、完整证明 #

咱们可以用逆否命题法来证明，这是奇偶性证明里非常好用的技巧：
原命题是：若$P$（$n^3 -7n^2 +n$为奇数），则$Q$（n为奇数）。
它的逆否命题是：若$\neg Q$（n为偶数），则$\neg P$（$n^3 -7n^2 +n$为偶数）。

接下来证明逆否命题：
假设n是偶数，设$n=2k$，其中k是整数：

• $n^3=(2k)3=8k^3$，显然是偶数；
• $7n^2=7*(2k)2=7*4k^2=28k2$，也是偶数；
• $n=2k$，同样是偶数。

三个偶数进行加减运算：偶数 - 偶数 + 偶数 = 偶数，所以$n^3 -7n^2 +n$必为偶数。

因为逆否命题成立，根据逻辑等价性，原命题也必然成立。

你也可以用反证法验证：
假设原命题不成立，即存在某个偶数n，使得$n^3 -7n^2 +n$为奇数。但根据上面的推导，偶数n代入后结果必为偶数，矛盾，所以原命题成立。

二、思考方法与解题思路指导 #

• 优先考虑逆否命题：对于“若A则B”的命题，当直接证明A→B比较绕的时候，优先考虑证明它的逆否命题$\neg B→\neg A$。尤其是奇偶性问题，偶数的性质比奇数更统一（任何次幂都是偶数，乘任何整数都是偶数），逆否命题往往更容易推导。
• 拆解多项式的奇偶性：遇到多项式的奇偶性判断，不用整体计算，把每一项单独分析：
  • 偶数的任何正整数次幂都是偶数；
  • 奇数的任何正整数次幂都是奇数；
  • 整数乘偶数得偶数，乘奇数保持原奇偶性；
  • 加减运算的奇偶性：奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇±偶=奇。
• 反证法作为补充验证：如果逆否命题的思路不确定，反证法是兜底方案：假设结论不成立，代入后推出矛盾，就能证明原命题正确。
• 特殊值试错快速验证：在正式证明前，可以用特殊值快速验证：
  • 取n=2（偶数）：$8 - 28 + 2 = -18$，是偶数，符合逆否命题；
  • 取n=3（奇数）：$27 - 63 + 3 = -33$，是奇数，符合原命题；
  • 取n=1（奇数）：$1 -7 +1 = -5$，是奇数，也符合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Caroline. N