高斯约旦法求矩阵逆出现全零行的原因及关联问题咨询

好问题！你遇到的这个现象本质上是因为你处理的矩阵是奇异矩阵——也就是不可逆的，下面我一步步给你拆解：

首先我们来计算这个矩阵的行列式，直接验证它没有逆矩阵：
原矩阵 A = [[2,4,10],[3,4,6],[4,4,2]]
根据3x3矩阵的行列式展开公式：

det(A) = 2*(4*2 - 6*4) - 4*(3*2 - 6*4) + 10*(3*4 - 4*4)
       = 2*(8-24) -4*(6-24) +10*(12-16)
       = 2*(-16) -4*(-18) +10*(-4)
       = -32 +72 -40 = 0

行列式为0是矩阵不可逆的充要条件，这就是高斯约旦法无法将左侧化为单位矩阵的根本原因。

高斯约旦法中左侧出现全零行，意味着原矩阵的行向量是线性相关的——也就是说其中一行可以由其他行的线性组合得到。比如你的矩阵里：
第三行 = 2*第二行 - 第一行
计算一下：2*[3,4,6] - [2,4,10] = [6-2, 8-4, 12-10] = [4,4,2]，正好是第三行。这说明矩阵的行秩只有2（只有2个线性独立的行向量），小于矩阵的阶数3，矩阵不满秩，必然不可逆。

你得到的右侧最后一列是[-4, 9/2, 0]，对应的行变换后方程是0x + 0y + 0z = 0，这个方程是相容的（等式成立），但这也进一步确认了矩阵的奇异性：我们无法通过行变换得到单位矩阵的最后一行[0,0,1]，自然也就构造不出逆矩阵。如果右侧最后一列非零，那会说明原方程组无解，但这里是0，只是单纯反映了行向量的线性相关性。

条件数是用来衡量可逆矩阵“病态程度”的指标，定义为cond(A) = ||A|| * ||A^{-1}||。但对于奇异矩阵来说，A^{-1}根本不存在，所以条件数是无穷大——这表示矩阵对任何微小的扰动都极其敏感，甚至会导致解完全失效，但本质上还是源于矩阵不可逆（行列式为0）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者carsof