使用极坐标计算指定区域R的二重积分技术问询

已知区域$R$（对应图示略），咱们要计算这个二重积分：
$$\iint\limits_{R}\frac{1}{4}\sqrt{2x^2+2y2}dA$$
给定参数$a=8$、$c=5$，我整理了一套推导思路，咱们来看：

• 先做个合理假设：第二象限（左上）的阴影区域和第四象限（右下）的阴影区域是完全相同的，这样能大幅简化区域的表示。
• 基于这个假设，把区域$R$转换成极坐标形式就很清晰了：
  $$R={(r,\theta)|0 \leq r \leq 8, -\arcsin\left(\frac{5}{8}\right) \leq \theta \leq \arcsin\left(\frac{5}{8}\right)+\pi/2}$$
• 接下来的计算步骤可以这么推进：
  1. 转换被积函数：利用极坐标和直角坐标的关系$x^2+y2=r^{2$，把被积函数里的根号部分替换掉，得到$\sqrt{2x}2+2y^2}=r\sqrt{2}$，所以被积函数简化成$\frac{1}{4}r\sqrt{2}$。
  2. 替换面积元素：极坐标下的面积元素是$dA=r dr d\theta$，原积分就变成了累次积分：
     $$\int_{-\arcsin(5/8)}^{\arcsin(5/8)+\pi/2} \int_{0}^{8} \frac{\sqrt{2}}{4}r^2 dr d\theta$$
  3. 分步计算积分：先对$r$求定积分，算出关于$r$的结果后，再对$\theta$积分，就能得到最终的数值结果了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tsp216