询问以下函数集合在C[0,1]空间中是否为预紧集

首先得纠正一个关键误区：你提到的海涅-博雷尔定理只在有限维赋范空间里成立，而C[0,1]（[0,1]上的连续函数空间，装备一致范数$|f|\infty = \max{t\in[0,1]}|f(t)|$）是无限维空间，所以「有界」≠「预紧」。判断C[0,1]中子集是否预紧，核心工具是Arzelà-Ascoli定理：一个子集是预紧集当且仅当它满足两个条件：

1. 一致有界：存在常数$M>0$，对集合中所有函数$f$，都有$|f|_\infty \leq M$；
2. 等度连续：对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，只要$|t_1-t_2|<\delta$，对集合中所有函数$f$，都有$|f(t_1)-f(t_2)|<\epsilon$。

下面逐个分析每个函数集合：

a) $x_n(t) = t^n, n \in \mathbb{N}$ #

• 一致有界：显然，$t\in[0,1]$时$|t^n|\leq1$，满足；
• 等度连续：不满足。取$\epsilon=1/2$，不管$\delta$多小，取$t_1=1-\delta/2$、$t_2=1$，当$n$足够大时，$|x_n(t_1)-x_n(t_2)|=|(1-\delta/2)^n -1|$会趋近于1，远大于$\epsilon$；
• 结论：不是预紧集。另外也能从收敛性看：$x_n(t)$逐点收敛到一个不连续的函数（$t=1$处为1，其余为0），而预紧集的收敛子列极限必须是连续函数，这也能佐证结论。

b) $x_n(t) = \sin(nt), n \in \mathbb{N}$ #

• 一致有界：$|\sin(nt)|\leq1$，满足；
• 等度连续：不满足。取$\epsilon=1$，对任意$\delta>0$，取$t_1=0$、$t_2=\pi/(2n)$（$n$足够大时$t_2<\delta$），此时$|x_n(t_1)-x_n(t_2)|=1=\epsilon$，无法满足对所有$n$的等度连续要求；
• 结论：不是预紧集。这个序列的子列会越来越快地振荡，不存在一致收敛的子列，不符合预紧集的定义。

c) $x_n(t) = \sin(t+n), n \in \mathbb{N}$ #

先利用三角恒等式化简：$\sin(t+n)=\sin(t + (n \mod 2\pi))$，相当于函数族$\sin(t+r)$，其中$r\in[0,2\pi]$。

• 一致有界：$|\sin(t+n)|\leq1$，满足；
• 等度连续：对任意$\epsilon>0$，取$\delta=\epsilon$，利用三角不等式：
  $$|\sin(t_1+n)-\sin(t_2+n)|=2\left|\cos\left(\frac{t_1+t_2+2n}{2}\right)\sin\left(\frac{|t_1-t_2|}{2}\right)\right|\leq|t_1-t_2|$$
  当$|t_1-t_2|<\delta=\epsilon$时，差值必然小于$\epsilon$，满足等度连续；
• 结论：是预紧集。根据Arzelà-Ascoli定理，这个集合满足两个条件，因此预紧。也能从子列收敛性看：$n\mod2\pi$有收敛子列，对应的函数子列会一致收敛到某个连续函数。

d) $x_a(t) = \sin(at), a \in \mathbb{R}$（参数$a$遍历全体实数的函数族） #

• 一致有界：$|\sin(at)|\leq1$，满足；
• 等度连续：不满足。当$a\to\infty$时，$\sin(at)$在[0,1]上振荡越来越快，类似b)的思路，取$t_1=0$、$t_2=\pi/(2a)$（$a$足够大时$t_2<\delta$），差值始终为1，无法找到统一的$\delta$满足所有$a$；
• 结论：不是预紧集。取$a_n=n$，对应的函数序列没有一致收敛的子列，不符合预紧集要求。

e) $x_s(t) = t^s, s \in [1,2]$（参数$s$遍历[1,2]的函数族） #

• 一致有界：$t\in[0,1]$时$t^s\leq1$（因$s\geq1$），满足；
• 等度连续：对任意$\epsilon>0$，取$\delta=\epsilon/2$。用中值定理：$t_1^s - t_2^s = s\xi^{{s-1}(t_1-t_2)$，其中$\xi$在$t_1$和$t_2$之间。因$s\in[1,2]$、$\xi\in[0,1]$，故$s\xi}{s-1}\leq2$，因此$|t_1^s - t_2^s|\leq2|t_1-t_2|$，当$|t_1-t_2|<\delta$时，差值小于$\epsilon$，满足等度连续；
• 结论：是预紧集。符合Arzelà-Ascoli定理的两个条件。

f) $x_a(t) = \arctan(at), a \in \mathbb{R}$（参数$a$遍历全体实数的函数族） #

• 一致有界：$|\arctan(at)|\leq\pi/2$，满足；
• 等度连续：不满足。当$a\to\infty$时，$\arctan(at)$在$t=0$附近的斜率趋近于无穷，取$\epsilon=\pi/4$，对任意$\delta>0$，取$a=1/\delta$、$t=\delta$，则$|\arctan(a\cdot\delta)-\arctan(0)|=\pi/4=\epsilon$，若$a$更大，差值会超过$\epsilon$，无法找到统一的$\delta$；
• 结论：不是预紧集。取$a_n=n$，对应的函数序列逐点收敛到一个不连续函数，不存在一致收敛的子列。

g) $x_a(t) = e^{t-a}, a \in \mathbb{R}, a \geq 0$（参数$a$遍历非负实数的函数族） #

• 一致有界：$a\geq0$时，$e^{t-a}\leq e^t\leq e$（因$t\leq1$），满足；
• 等度连续：对任意$\epsilon>0$，取$\delta=\epsilon/e$。利用导数估计：$|e^{t_1-a}-e{t_2-a}|=e^{-a}|e{t_1}-e^{t_2}|\leq e|t_1-t_2|$（因$e^t$在[0,1]上的导数最大值为$e$），当$|t_1-t_2|<\delta$时，差值$\leq e\cdot(\epsilon/e)=\epsilon$，满足等度连续；
• 结论：是预紧集。任意函数序列要么收敛到某个$e^{t-a_0}$（$a_0\geq0$），要么一致收敛到0，都是连续函数，符合预紧集的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vinny Chase