紧致空间X中Lip(X)是C(X)子代数的证明及解答解析

我帮你把这段关于紧致空间上Lipschitz函数代数的习题和解答片段整理成清晰规范的Markdown格式啦：

习题 #

设$X$是紧致空间，证明$\text{Lip}(X)$是$C(X)$的子代数。

解答片段 #

要验证$\text{Lip}(X)$是$C(X)$的子代数，第一步可以先证线性封闭性：两个Lipschitz函数的线性组合仍是Lipschitz函数。

具体来说，若$f,g:X\to\mathbb{R}$是Lipschitz函数（各自对应Lipschitz常数$K_f,K_g$），且$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，定义$h:=\alpha f + \beta g$，则对任意$x,y\in X$，由三角不等式可得：
$$\left|h(x) - h(y)\right|\leq \left|\alpha\right|\left|f(x) - f(y)\right| + \left|\beta\right|\left|g(x) - g(y)\right|$$
再结合$f,g$的Lipschitz性质，代入得：
$$\left|h(x) - h(y)\right|\leq \left|\alpha\right|K_f d(x,y) + \left|\beta\right|K_g d(x,y) = (|\alpha|K_f + |\beta|K_g)d(x,y)$$
这就说明$h$也是Lipschitz函数，满足线性封闭的要求。

（注：原解答片段后半部分被截断，这里补全了完整的推导逻辑）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者titusAdam