求实数集ℝ的两个不交子集A、B：A∪B与A开但B不开的例子

别急，我们可以直接构造出符合条件的例子，再拆解背后的逻辑：

具体构造 #

• 设 A = (-∞, 1) ∪ (2, +∞)：这是两个开区间的并集，根据实数集开集的定义（任意开区间的并都是开集），A显然是ℝ中的开集。
• 设 B = [1, 2]：很明显A和B没有交集（A ∩ B = ∅）。

验证条件 #

1. A∪B是开集：把A和B合并后，A ∪ B = (-∞,1) ∪ [1,2] ∪ (2,+∞) = ℝ，而ℝ本身是开集（同时也是闭集，属于拓扑里的特殊情况）。
2. A是开集：前面已经说明，A是两个开区间的并，完全符合开集的定义。
3. B不是开集：闭区间[1,2]不是开集——比如对于端点1，你找不到任何一个以1为中心的开邻域（比如(1-ε,1+ε)）能完全包含在[1,2]里，这就违反了开集的定义。

另一个更灵活的例子 #

如果不想让A∪B是整个ℝ，也可以换这样的构造：

• A = (0,1) ∪ (2,3)（开集）
• B = [1,2]（与A不交）
• 此时A ∪ B = (0,3)，这是一个开区间，属于开集；而B依旧是闭区间，不是开集，同样满足所有要求。

背后的逻辑 #

核心在于：开集减去开集得到的集合不一定是开集。因为A是开集，它的补集ℝ\A是闭集；而A∪B是开集，那么B = (A∪B) \ A = (A∪B) ∩ (ℝ\A)——也就是开集和闭集的交集，这类集合可以是闭区间（或其他非开集），刚好满足我们需要B不是开集的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user422112