基于指数不等式证明热核Φ的各阶导数上界估计

咱们先来回顾一下要用到的核心引理，这个引理是后续推导的关键：

若$0<\alpha<1$，$0\leq \beta$，则存在$M(\alpha,\beta)>0$，使得对所有$z\geq 0$，均有$$z^\beta e^{-z}\leq Me^{-\alpha z}$$

先明确$n$维热核的定义，咱们后面都要用到它：
$$\Phi(x,t)=\dfrac{1}{(4\pi t)^{{n/2}}\exp\left[-\dfrac{|x|}2}{4t}\right] \quad (x\in \mathbb{R}^n,\ t>0)$$

接下来咱们逐个证明这三个不等式，一步一步来，不会太复杂～

1. 证明 $|\partial_t\Phi(x,t)| \leq \dfrac{M_1}{t}\Phi(x,2t)$ #

先动手算一下$\Phi(x,t)$关于$t$的偏导数，用乘积法则拆分一下：
$$
\begin{align*}
\partial_t\Phi(x,t) &= \partial_t\left( (4\pi t)^{-n/2} \right) \exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right) + (4\pi t)^{-n/2} \partial_t\left( \exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right) \right) \
&= -\frac{n}{2}(4\pi t)^{-n/2 -1} \cdot 4\pi \cdot \exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right) + (4\pi t)^{-n/2} \cdot \exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right) \cdot \frac{|x|^2}{4t2} \
&= \Phi(x,t) \left( \frac{|x|^2}{4t2} - \frac{n}{2t} \right)
\end{align*}
$$

取绝对值之后，咱们可以把里面的两项拆开，用三角不等式放缩：
$$|\partial_t\Phi(x,t)| = \Phi(x,t) \left| \frac{|x|^2}{4t2} - \frac{n}{2t} \right| \leq \Phi(x,t) \left( \frac{|x|^2}{4t2} + \frac{n}{2t} \right)$$

现在看$\Phi(x,2t)$的表达式，把它和$\Phi(x,t)$关联起来：
$$\Phi(x,2t) = \frac{1}{(8\pi t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{|x|^2}{8t}\right) = \frac{1}{2^{n/2}} (4\pi t)^{-n/2} \exp\left(-\frac{|x|^2}{8t}\right)$$
所以反过来，$\Phi(x,t)$可以写成：
$$\Phi(x,t) = 2^{n/2} \exp\left( -\frac{|x|^2}{4t} + \frac{|x|^2}{8t} \right) \Phi(x,2t) = 2^{n/2} \exp\left( -\frac{|x|^2}{8t} \right) \Phi(x,2t)$$

把这个代入刚才的绝对值不等式里：
$$|\partial_t\Phi(x,t)| \leq 2^{n/2} \exp\left( -\frac{|x|^2}{8t} \right) \left( \frac{|x|^2}{4t2} + \frac{n}{2t} \right) \Phi(x,2t)$$

为了用咱们开头的引理，做个变量替换，令$z = \frac{|x|^{2}{8t}$，这样$\frac{|x|}2}{4t^2} = \frac{2z}{t}$，代入后：
$$|\partial_t\Phi(x,t)| \leq \frac{2^{n/2}}{t} \left( 2z + \frac{n}{2} \right) e^{-z} \Phi(x,2t)$$

根据开头的引理，取$\alpha=1/2$，$\beta=1$，肯定存在一个常数$M'$使得$z e^{-z} \leq M'$，而$\frac{n}{2}e^{-z}$本身也有上界，所以把这两项合起来，就能找到一个$M_1>0$，让$\left(2z + \frac{n}{2}\right)e^{-z} \leq M_1$，这样就得到了：
$$|\partial_t\Phi(x,t)| \leq \frac{M_1}{t}\Phi(x,2t)$$

2. 证明 $|\partial_{x_i}\Phi(x,t)| \leq \dfrac{M_2}{\sqrt{t}}\Phi(x,2t)$ #

接下来算关于$x_i$的一阶偏导，这个相对简单点：
$$
\begin{align*}
\partial_{x_i}\Phi(x,t) &= (4\pi t)^{-n/2} \cdot \exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right) \cdot \left( -\frac{2x_i}{4t} \right) \
&= -\frac{x_i}{2t} \Phi(x,t)
\end{align*}
$$

取绝对值后：
$$|\partial_{x_i}\Phi(x,t)| = \frac{|x_i|}{2t} \Phi(x,t)$$

同样用刚才$\Phi(x,t)$和$\Phi(x,2t)$的关系代入：
$$|\partial_{x_i}\Phi(x,t)| = \frac{|x_i|}{2t} \cdot 2^{n/2} \exp\left( -\frac{|x|^2}{8t} \right) \Phi(x,2t)$$

还是用变量替换$z = \frac{|x|^2}{8t}$，那么$|x_i| \leq |x| = \sqrt{8t z} = 2\sqrt{2t z}$，代入进去：
$$|\partial_{x_i}\Phi(x,t)| \leq \frac{2\sqrt{2t z}}{2t} \cdot 2^{n/2} e^{-z} \Phi(x,2t) = \frac{2^{n/2 + 1/2}}{\sqrt{t}} \sqrt{z} e^{-z} \Phi(x,2t)$$

再用引理，取$\alpha=1/2$，$\beta=1/2$，$\sqrt{z}e^{-z}$肯定有上界$M''$，所以找个$M_2>0$就能得到：
$$|\partial_{x_i}\Phi(x,t)| \leq \frac{M_2}{\sqrt{t}}\Phi(x,2t)$$

3. 证明 $|\partial_{x_ix_j}\Phi(x,t)|\leq \dfrac{M_3}{t}\Phi(x,2t)$ #

最后来算二阶混合偏导，分两种情况讨论：

• 当$i=j$时（也就是二阶纯偏导）：
  $$
  \begin{align*}
  \partial_{x_i^2}\Phi(x,t) &= \partial_{x_i}\left( -\frac{x_i}{2t}\Phi(x,t) \right) \
  &= -\frac{1}{2t}\Phi(x,t) - \frac{x_i}{2t}\partial_{x_i}\Phi(x,t) \
  &= -\frac{1}{2t}\Phi(x,t) - \frac{x_i}{2t} \cdot \left( -\frac{x_i}{2t}\Phi(x,t) \right) \
  &= \Phi(x,t) \left( \frac{x_i^2}{4t2} - \frac{1}{2t} \right)
  \end{align*}
  $$

• 当$i\neq j$时（混合偏导）：
  $$
  \begin{align*}
  \partial_{x_ix_j}\Phi(x,t) &= \partial_{x_i}\left( -\frac{x_j}{2t}\Phi(x,t) \right) \
  &= -\frac{x_j}{2t}\partial_{x_i}\Phi(x,t) \
  &= -\frac{x_j}{2t} \cdot \left( -\frac{x_i}{2t}\Phi(x,t) \right) \
  &= \frac{x_i x_j}{4t^2} \Phi(x,t)
  \end{align*}
  $$

不管是哪种情况，取绝对值后都可以用三角不等式放缩成这样：
$$|\partial_{x_ix_j}\Phi(x,t)| \leq \Phi(x,t) \left( \frac{|x|^2}{4t2} + \frac{1}{2t} \right)$$

同样代入$\Phi(x,t)$和$\Phi(x,2t)$的关系：
$$|\partial_{x_ix_j}\Phi(x,t)| \leq 2^{n/2} \exp\left( -\frac{|x|^2}{8t} \right) \left( \frac{|x|^2}{4t2} + \frac{1}{2t} \right) \Phi(x,2t)$$

还是令$z = \frac{|x|^{2}{8t}$，则$\frac{|x|}2}{4t^2} = \frac{2z}{t}$，代入后：
$$|\partial_{x_ix_j}\Phi(x,t)| \leq \frac{2^{n/2}}{t} \left( 2z + \frac{1}{2} \right) e^{-z} \Phi(x,2t)$$

根据引理，$\left(2z + \frac{1}{2}\right)e^{-z}$有上界$M'''$，所以存在$M_3>0$，满足：
$$|\partial_{x_ix_j}\Phi(x,t)| \leq \frac{M_3}{t}\Phi(x,2t)$$

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