实数域内三角函数方程组求解及推导疑问咨询

首先得指出你推导过程中的关键错误：在处理$\sin x\cos y + \sin y\cos x$的和差化积时，你算错了。正确的展开应该是：

$\sin x\cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]$
$\sin y\cos x = \frac{1}{2}[\sin(y+x)+\sin(y-x)] = \frac{1}{2}[\sin(x+y)-\sin(x-y)]$

把这两个加起来，$\sin(x-y)$项会抵消，结果是$\sin(x+y)$，而不是你得到的$2\sin(x-y)$。这一步错误导致后续推导偏离了正确方向，我们重新来推导：

正确的推导步骤 #

1. 处理第二个方程
   对$\tan x + \tan y = 2$通分：
   $$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = 2$$
   分子合并后利用正弦和角公式：
   $$\sin x\cos y + \sin y\cos x = 2\cos x\cos y \implies \sin(x+y) = 2\cos x\cos y$$
   再用积化和差公式把右边展开：
   $$\sin(x+y) = \cos(x+y) + \cos(x-y) \tag{1}$$

2. 处理第一个方程
   对$\cos x + \cos y = \frac{1}{2}$用和差化积：
   $$2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{4} \tag{2}$$

3. 换元简化方程组
   设$u = x+y$，$v = x-y$，则$x = \frac{u+v}{2}$，$y = \frac{u-v}{2}$，方程组转化为关于$u$和$v$的方程：

   • 从式(1)：$\sin u = \cos u + \cos v$
   • 从式(2)：$\cos\left(\frac{u}{2}\right)\cos\left(\frac{v}{2}\right) = \frac{1}{4}$

后续求解步骤 #

步骤1：用$u$表示$\cos v$

从$\sin u = \cos u + \cos v$，直接得到：
$$\cos v = \sin u - \cos u \tag{3}$$

步骤2：结合式(2)转化为单变量方程

利用二倍角公式，$\cos v = 2\cos^2\left(\frac{v}{2}\right) - 1$，从式(2)解出$\cos\left(\frac{v}{2}\right) = \frac{1}{4\cos\left(\frac{u}{2}\right)}$（注意$\cos\left(\frac{u}{2}\right) \neq 0$，否则式(2)左边为0，与右边矛盾），代入得：
$$\cos v = 2\left(\frac{1}{4\cos\left(\frac{u}{2}\right)}\right)^2 - 1 = \frac{1}{8\cos^2\left(\frac{u}{2}\right)} - 1 \tag{4}$$

再用二倍角公式把$\sin u$和$\cos u$用$\cos\left(\frac{u}{2}\right)$表示：
$$\sin u = 2\sin\left(\frac{u}{2}\right)\cos\left(\frac{u}{2}\right), \quad \cos u = 2\cos^2\left(\frac{u}{2}\right) - 1$$
代入式(3)：
$$\cos v = 2\sin\left(\frac{u}{2}\right)\cos\left(\frac{u}{2}\right) - (2\cos^2\left(\frac{u}{2}\right) - 1) \tag{5}$$

令$t = \cos\left(\frac{u}{2}\right)$，则$\sin\left(\frac{u}{2}\right) = \pm\sqrt{1-t^2}$，联立(4)(5)得：
$$\frac{1}{8t^2} - 1 = 2(\pm\sqrt{1-t^2})t - 2t^2 + 1$$

步骤3：解代数方程并验证

整理后得到关于$t$的方程，两边平方消去根号（注意平方会引入增根，后续必须验证解的合理性）：
$$16t^{3(\pm\sqrt{1-t}2}) = 16t^4 - 16t^2 + 1$$
平方后转化为八次方程，可进一步简化为关于$z = t^2$的四次方程：
$$512z^4 - 768z^3 + 288z^2 - 32z + 1 = 0$$

这个四次方程可以用求根公式求解，或者通过数值方法得到近似解，得到$z$后求出$t$，进而得到$u$和$v$，最后反解出$x$和$y$。

步骤4：验证解的有效性

因为平方操作会引入不符合原方程的增根，所以每一步得到的解都要代回原方程组验证，同时要注意$\cos x \neq 0$、$\cos y \neq 0$（否则正切无意义），以及$\tan x + \tan y = 2$的符号合理性（比如不能出现两个负正切相加等于2的情况）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者peta arantes