满足特定条件的域子环中理想包含关系的证明求助

嘿，这个问题用反证法其实完全能搞定，可能你之前没找准矛盾的切入点～我给你梳理下具体步骤：

首先我们先反设结论不成立：假设存在R中的理想I和J，既不满足I⊆J，也不满足J⊆I。

那根据这个假设，我们一定能找到两个关键元素：

• 从I里找一个不在J中的元素，记为a，也就是a ∈ I且a ∉ J
• 从J里找一个不在I中的元素，记为b，也就是b ∈ J且b ∉ I

接下来就用到题目给的R的核心性质了：对域F中的任意元素x，要么x∈R，要么x⁻¹∈R。我们考虑F中的元素a/b（因为F是域，b作为非零元素肯定可逆），这个元素要么属于R，要么它的逆元b/a属于R，分两种情况看：

1. 若a/b ∈ R：
   因为J是R的理想，理想满足吸收律——对任意r∈R和j∈J，都有r*j∈J。这里a/b ∈ R，b ∈ J，所以(a/b)*b = a ∈ J，但我们一开始取的是a ∉ J，这就出现了矛盾！

2. 若b/a ∈ R：
   同理，I是R的理想，b/a ∈ R，a ∈ I，所以(b/a)*a = b ∈ I，但我们一开始取的是b ∉ I，这也矛盾了！

两种情况都导出了矛盾，说明我们最开始的反设是错误的，因此必然有I⊆J或者J⊆I。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jhon Doe