根判别法失效时，如何判断级数∑(1-p/n)^n的敛散性？

嘿，这个问题其实可以从级数收敛的必要条件入手，这是很多时候判别敛散性容易忽略但又非常关键的一步！

你之前尝试的根值判别法、比值判别法等，都是在通项趋于0的前提下才具备应用价值的，但我们可以先跳出这些方法，先计算通项当$n\to\infty$时的极限：

利用重要极限公式$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$，令$x=-p$（由于$p>0$，$x$为负数），代入可得：
$$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{p}{n}\right)^n = e^{-p}$$

因为$p>0$，所以$e^{{-p}$是一个大于0的常数（比如$p=1$时，极限为$1/e\approx0.367$；$p=2$时，极限为$1/e}2\approx0.135$），完全不等于0。

而级数收敛的核心必要条件之一是：当$n$趋向无穷时，级数的通项必须趋近于0。现在这个级数的通项极限是正的常数，不满足该必要条件，因此可以直接判定这个级数是发散的。

其实很多时候，在尝试那些复杂的判别法之前，先检查通项的极限是否为0，能快速排除掉大量发散的情况，节省不少时间哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Future Math person