Rosenlicht定理是否需要代数闭包？关于其表述的技术疑问

我之前在不同文献里碰到过Rosenlicht《代数群的若干基本定理》中“定理2”的多种表述，说实话原文的表述确实有点绕，不太好啃。结合我自己的学习和整理，这个定理的核心内容可以拆解成这样：

• 给定域$k$上的代数群$G$，以及它在同域$k$上的不可约簇$X$上的作用，必然存在一个扎里斯基开的、$G$-不变的子集 $X_0 \subset X$，使得在$X_0$上几何商存在。

几何商的核心性质（补充说明） #

几何商$X_0/G$作为代数簇，满足以下关键条件：

• 商映射$\pi: X_0 \to X_0/G$是满射且连续的，它会把$X_0$中的每个$G$-轨道映射到$X_0/G$中的单个点；
• 对于$X_0/G$上的任意正则函数$f$，拉回函数$\pi^*f$是$X_0$上的$G$-不变正则函数；
• $X_0/G$上的正则函数全体恰好对应$X_0$上的$G$-不变正则函数全体，即环同构$k[X_0/G] \cong k[X_0]^G$；
• 商映射$\pi$是开映射，并且每个纤维恰好是$X_0$中的一个$G$-轨道。

如果你碰到的不同表述是在这些细节上有差异，大概率是不同文献根据自身需求对定理做了简化或侧重不同的性质~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MR_Q