为何联立该方程组时，相加方程无法得出正确解？

咱们来一步步拆解这个方程组的问题：

先看你提到的推导过程：

• 把两个方程相加：$x^2 - y + y^2 - x = 0$，整理后配方得到：
  $$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$$
  这个方程确实描述了一个圆心在$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆，圆上有无数个点，但这些点只是满足原方程组的必要条件，不是充分条件——也就是说原方程组的解一定在这个圆上，但圆上的点不一定都满足原方程组，这就是为什么大部分点不是有效解的核心原因。

再来看更严谨的求解步骤（也就是你提到的代入法）：

1. 从第一个方程$x^2 - y = 0$可以直接得到$y = x^2$
2. 把$y = x^{2$代入第二个方程$y}2 - x = 0$，得到：
   $$(x²⁾2 - x = 0 \implies x^4 - x = 0$$
3. 对这个方程做因式分解：
   $$x(x^3 - 1) = 0 \implies x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$$
4. 求解这个方程：
   • 在实数范围内，只有$x=0$或$x=1$这两个根，对应$y=0$和$y=1$，也就是你说的$(0,0)$和$(1,1)$这两个有效解
   • 如果考虑复数解，$x^2 + x + 1 = 0$还有两个根，但通常咱们讨论的“有效解”默认指实数解，所以这两个就是全部符合要求的解了。

这样就把原方程组的解的情况解释清楚啦——圆只是给解划定了一个范围，但只有同时满足两个原方程的点才是真正的解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user124384