含聚点极点的解析函数的Casorati-Weierstrass型结论证明求助

我最近在做Conway复分析教材里的一道题，卡壳好半天了，想请教下思路：

设函数$f$在区域$G={z:0<|z-a|<r}$内解析，仅存在一列极点${a_n}\subset G$满足$\lim_{n\to\infty}a_n=a$。需证明：对任意$w\in\mathbb{C}$，存在序列${z_n}\subset G$，使得$\lim_{n\to\infty}z_n=a$且$\lim_{n\to\infty}f(z_n)=w$。

我一开始的想法是，要是能证明$a$是本质奇点，那不就可以直接用Casorati-Weierstrass定理了吗？结果仔细一想才发现不对——$a$根本不是孤立奇点啊！因为那列极点${a_n}$是无限趋近于$a$的，所以$a$的任何去心邻域里都包含极点，完全不符合孤立奇点的定义。这一下原来的思路就彻底断了，现在不知道该从哪个角度入手了，有没有大佬能给点提示？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RipCheck