未使用全部样本观测值时，OLS斜率估计量是否仍具无偏性？

问题背景 #

已知当满足随机样本、$E(u | X)=0$等所有常规假设时，简单线性回归模型的OLS斜率估计量具有无偏性和一致性。若在OLS斜率估计中仅使用半数或四分之一的观测值而非全部样本，该估计量会变为有偏或不一致吗？此外，若不使用全部样本观测值，OLS斜率估计量是否仍无偏？我认为因常规假设仍成立，估计量不会受影响。

一、无偏性：不受样本量比例影响 #

先明确无偏性的核心逻辑：OLS估计量的无偏性只要求样本是随机抽取的，且条件期望假设$E(u | X)=0$成立——这两个是关键前提，和样本量的大小没有直接关系。

当你从完整样本中随机选取半数或四分之一的观测时，这部分子样本依然是来自原总体的随机样本：每个观测的选取都是随机的，没有系统性偏差，而且子样本里的扰动项依然满足$E(u | X)=0$（因为原假设是针对总体所有个体的，子样本个体自然符合）。

所以结论是：子样本的OLS斜率估计量依然是无偏的。唯一的区别是样本量更小会导致估计量的方差变大（估计结果更不稳定），但无偏性这个性质不会改变。

二、一致性：只要子样本量随原样本增长就保持 #

一致性是大样本性质，要求当样本量趋近于无穷时，估计量依概率收敛到真实参数。

如果你的子样本是按固定比例选取的（比如始终取半数或四分之一），那么当原样本量趋近于无穷时，子样本的规模也会同步趋近于无穷。这时候大数定律和中心极限定理依然能在子样本上发挥作用，所以OLS斜率估计量的一致性依然成立。

当然，如果是固定选取某一数量的观测（比如不管原样本多大都只取100个），那子样本量不会随原样本增长，这时候一致性就不成立了——但你的问题里是按比例取，所以完全没问题。

对提问者判断的验证 #

你的想法完全正确！只要子样本是随机抽取的，原有的常规假设在子样本中就依然有效，OLS斜率估计量的无偏性和一致性都不会受影响。样本量比例的变化只会影响估计的精度（方差），不会改变估计量的核心性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kyusj