请求协助证明实数系连续函数和证明中的红标实函数性质

嘿！我完全懂你卡在这个小步骤上的感觉——在实分析的证明里，有时候那些看起来“理所当然”的实函数性质，真要证起来反而会卡壳😅。不过你还没提到那个红下划线标注的具体性质是什么，能不能把它的内容补充一下呀？比如是不是绝对值的三角不等式（|a + b| ≤ |a| + |b|）？这可是证明连续函数之和连续时最常用到的关键性质。

不过先给你这个最常见场景的证明，说不定正好就是你需要的：

三角不等式的证明 #

我们要证：对任意实数 a, b，有 |a + b| ≤ |a| + |b|。

1. 首先根据绝对值的基本定义，对任意实数 x，都有 -|x| ≤ x ≤ |x|。所以：
   • 对 a：-|a| ≤ a ≤ |a|
   • 对 b：-|b| ≤ b ≤ |b|
2. 把这两个不等式左右两边分别相加，得到：
   -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|
3. 再根据绝对值的等价刻画：如果存在非负实数 M，使得 -M ≤ x ≤ M，那么 |x| ≤ M。这里 M = |a| + |b| 显然是非负的，所以直接推出 |a + b| ≤ |a| + |b|。

如果你遇到的是其他性质（比如反向三角不等式 ||a| - |b|| ≤ |a - b| 之类的），把具体内容告诉我，我再给你针对性的证明！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maths Survivor