环同态能否刻画为任意理想原像为理想的环映射？逆命题成立吗？

咱们直接把结论摆出来：

1. 环同态必然满足“任意理想的原像都是理想”，但这个性质没法反过来定义环同态——也就是说，存在不是环同态的环映射，也能做到所有理想的原像都是理想。
2. 你问的逆命题不成立，下面咱们一步步说清楚。

先复习已知结论：环同态肯定能保持理想的原像 #

这是环论里的基础结论：如果$f: R \to S$是环同态，$I \triangleleft S$是$S$的理想，那$f^{-1}(I)$一定是$R$的理想。证明也很直白：

• 对任意$a,b \in f^{-1}(I)$，$f(a-b)=f(a)-f(b)$，因为$I$是理想，减法封闭，所以$f(a)-f(b) \in I$，那$a-b$自然属于$f^{-1}(I)$；
• 对任意$r \in R$、$a \in f^{-1}(I)$，$f(ra)=f(r)f(a)$，$I$是理想能吸收乘法，所以$f(r)f(a) \in I$，同理$f(ar) \in I$，所以$ra$和$ar$都在$f^{-1}(I)$里。
  完全符合理想的定义，没毛病。

逆命题不成立：非环同态的映射也能满足条件 #

给你举个特别直观的反例：
取$R=S=ℚ$（有理数域），定义映射$f(x)=|x|$（就是取绝对值）。

先验证它满足“任意理想的原像都是理想”：
ℚ是域，域的理想只有两个：${0}$和整个ℚ。

• $f^{-1}({0})={0}$，显然是ℚ的理想；
• $f^{-1}(ℚ)=ℚ$，本身就是环，当然是理想。

但$f$绝对不是环同态：

• 加法根本不保持：比如$f(1 + (-1))=f(0)=0$，但$f(1)+f(-1)=1+1=2$，明显不等于0；
• 也不满足$f(-x)=-f(x)$，比如$f(-1)=1$，而$-f(1)=-1$，完全不一样。

再给你换个整数环的例子：
取$R=S=ℤ$（整数环），定义$f(n)=\begin{cases}n & n是偶数 \2 & n是奇数\end{cases}$。

先看理想的原像：

• 对$S$的任意理想$kℤ$，如果$k$是偶数，那奇数的$f(n)=2$属于$kℤ$，偶数的$f(n)=n$属于$kℤ$当且仅当$n \in kℤ$，所以原像是整个ℤ，是理想；如果$k$是奇数，那2不属于$kℤ$，所以原像是所有偶数$n$满足$n \in kℤ$，也就是$kℤ \cap 2ℤ=2kℤ$，这也是ℤ的理想；
• 理想${0}$的原像是${0}$，是理想。

但这个$f$同样不是环同态：比如$f(1+1)=f(2)=2$，但$f(1)+f(1)=2+2=4$，显然不相等，加法同态的条件直接不满足。

额外提一句：加条件的话逆命题可能成立 #

如果给映射加一些额外限制，比如要求$f$是满射，或者要求$f$保持单位元（当环有单位元时），那逆命题说不定能成立，但一般情况下，没有额外条件的话，逆命题是不成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gomes93