无穷级数的符号和问题：弱递减正实数列的符号和集合分析

先把问题的设定理清楚哈：
设${a_n}$是弱递减的正实数序列，并且级数$s = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$是收敛的。我们给每一项$a_n$赋予任意的符号$\varepsilon_n$——$\varepsilon_n$只能取$+1$或者$-1$，然后把所有可能的这种符号级数的和放在一起，构成集合$L = \left{\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon_n a_n \mid \varepsilon_n \in {+1, -1}\right}$。

关于这个集合$L$，有几个很直观的性质：

• 所有这类带符号的级数都是绝对收敛的：因为$\sum_{n=1}^{\infty} |\varepsilon_n a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s$，而$s$是收敛的，所以这些级数绝对收敛，自然本身也收敛，不存在发散的情况。
• 集合$L$完全包含在区间$[-s, s]$内，而且关于原点对称：前者是因为每个$\sum \varepsilon_n a_n$的绝对值不会超过$\sum |\varepsilon_n a_n| = s$；后者更简单，只要把所有$\varepsilon_n$的符号全部反转，就能得到原来和的相反数，所以如果$x \in L$，那么$-x$也一定属于$L$。

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