Evans第五章习题10：分部积分的合理性证明问询

我最近在尝试解决一个分析方向的问题：需要通过分部积分证明，对于$2\le p <\infty$且所有紧支集光滑函数$u\in C^\infty_c(U)$，成立如下插值不等式：
$$|D u|{L^p}\le C |u|{L^p}\frac{1}{2}|D^2u|_{Lp}^\frac{1}{2}$$

题目给出的提示是先将$|Du|{L^p}p$拆解为：
$$\int_U |D u|^{pdx=\sum_{i=1}}n \int_U u{x_i}u_{x_i}|Du|^{p-2}dx$$

如果直接按照这个提示，进行分部积分再结合Hölder不等式计算，其实不难得到最终的不等式结果，但我现在卡在了分部积分的合理性验证上——尤其是当$2< p\le 4$的情况，这里似乎存在一些容易被忽略的细节，需要进一步确认分部积分的操作是否严谨。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Reveillark